Перехід від зображення до оригіналу

Визначення зображення шуканої функції часу

Розрахунок перехідних процесів операторним методом

Розрахунок перехідних процесів операторним методом складається з двох основних етапів:

– визначення зображення шуканої функції;

– перехід від зображення до оригіналу.

Для отримання зображення функції часу використовуються закони Ома та Кірхгофа в операторній формі, а також всі методи, що базуються на цих законах. При цьому:

- нерозгалужені електричні кола з нульовими та ненульовими ПУ, а також прості розгалужені кола з нульовими ПУ розраховуються за законом Ома;

- розгалужені електричні кола з ненульовими ПУ розраховуються за законами Кірхгофа та іншими методами розрахунку складних кіл в операторній формі.

В загальному випадку перехід від зображення до оригіналу здійснюється за допомогою формули оберненого перетворення Лапласа

,

для чого необхідно знати теорію функцій комплексного змінного.

В простих випадках перехід виконують за формулами відповідності між оригіналом та зображенням, які приводяться в довідниках.

Другий шлях заснований на застосуванні формули розкладання.

Допускаємо, що зображення F(p) має вигляд раціонального правильного нескоротного дробу:

,

де: F₁(p) та F₂(p) – багаточлени;

a_k та b_k – дійсні числа, m<n.

Якщо багаточлен F₂(p) не має кратних коренів, тоді шукана функція часу, згідно теореми розкладання визначається за наступною формулою

,

де: p_k – k-й корінь рівняння F₂(p)=0;

F₁(p_k) – значення багаточлену F₁(p) при підстановці в нього кореня p_k;

F₂´(p_k) – значення похідної від багаточлену F₂(p) при підстановці в нього кореня p_k.

Приклад:

Розглянемо застосування операторного методу розрахунку перехідних процесів на конкретному прикладі (рис. 14.3).

Дано: R₁; R₂; C; U=const.

Розрахувати перехідний процес в колі при ввімкненні його до джерела постійної напруги.

Розв’язання:

Маємо розгалужене електричне коло з нульовими ПУ. Для розрахунку застосовуємо закон Ома в операторній формі для нульових ПУ

,

де: , .

Тоді: .

Для знаходження оригіналу скористаємося формулою розкладення

,

яка застосовується наступним чином.

1. Визначаємо корні знаменника p_k:

F₂(p)=p(R₁R₂ pC+R₁+R₂)=0,

p₁=0; .

2. Обчислимо похідну від знаменника F₂’(p):

F₂’(p)=2R₁R₂Cp+R₁+R₂.

3. Обчислимо значення F₁(p_k) та F₂’(p_k):

1) p₁=0 → F₁(p₁)=U; F₂’(p₁)=R₁+R₂.

2) ;

.

4. Визначимо струм за формулою розкладення:

.

5. Для визначення інших струмів можна застосувати класичний метод. Для I-го контуру (рис. 14.3) маємо:

R₁i₁+R₂i₂=U; ,

тоді i₃= i₁ - i₂.