Приклади розрахунку електричних кіл з взаємною індукцією

 

Задача №1

 

Розрахувати електричне коло з паралельним з'єднанням двох індуктивно зв'язаних котушок (рис. Р5.1,а) при їх узгодженому ввімкненні, якщо: U = 115 B; R1 = 11,5 Ом; R2 = 23 Ом; XL1 = 11, 5 Ом;
XL2 = 23 Ом; XM = 23Ом.

Побудувати векторні діаграми струмів та напруг. Визначити активну потужність, яка споживається електричним колом та кожною гілкою окремо.

Розв'язування

 

1. Складемо систему рівнянь за I та II законами Кірхгофа для кола. Для цього задамося струмами в гілках та напрямком обходу контурів

I = I1 + I2,

R1I1 + jXL1I1 + jXMI2 = U ,

R2I2 + jXL2I2 + jXMI1 = U.

 

2. Підставимо в рівняння числові значення:

I = I1 + I2,

11,5 I1 + j11,5I1 + j23I2 = 115,

23I2 + j23I2 + j23I1 = 115,

або:

I = I1 + I2,

(1 + j) I1 + j2I2 = 10,

j2I1 + 2(1 + j) I2 = 10.

3. Розрахуємо систему рівнянь, та знайдемо струми I, I1, I2 методом визначників:

 

,

,

,

,

,

.

 

4. Визначимо напруги на окремих елементах кола

 

,

,

,

,

,

.

 

5. Будуємо векторну діаграму струмів та напруг, використовуючи алгебраїчну форму запису комплексних струмів та напруг.

 

 
 

6. Визначимо активні потужності кола та окремих гілок:

 

.

,

,

 

Бачимо, що в другій гілці активна потужність Р2 = 0. Активна потужність від джерела енергії споживається тільки першою гілкою Р1 = 287,5 Вт. Але в другій гілці мають місце теплові втрати, так як в гілці є активний опір
R2 = 23 Ом, і дорівнюють:

.

Теплові втрати в першій гілці дорівнюють

 

.

При цьому в першу гілку від джерела енергії поступає активна потужність Р1 =287,5 Вт, а на теплові втрати витрачається Вт. Тому залишок Вт за рахунок взаємної індукції, тобто за допомогою магнітного поля, передається в другу гілку, де і перетворюється в тепло.

 

Задача № 2

 
 

Знайти взаємну індуктивність М двох індуктивно зв’язаних котушок при їх послідовному з’єднанні, якщо електровимірювальні прилади при узгодженому та

 

 

зустрічному включенні котушок показали (рис. Р5.2):

– в першому досліді:

U1 = 120 B, I1 = 12 A, P1= 864 Вm,

– в другому досліді:

U2 = 60 B, I2 = 5 A, P2 = 150 Bm.

В якому досліді індуктивні котушки були ввімкнені узгоджено?

 

Розв’язування

 

1. Знаходимо повний опір кола в першому та другому дослідах:

 

При узгодженому ввімкненні індуктивних котушок їх еквівалентна індуктивність більша, чим при зустрічному (Ly > Lз) тому Zy > Zз. Таким чином в другому досліді котушки були включені узгоджено.

2. Визначимо індуктивність Ly та Lз:

 

,

, .

, .

 

3. Розрахуємо взаємну індуктивність

 

 

Таким чином, для визначення взаємної індуктивності двох індуктивно зв’язаних котушок достатньо виконати два досліди: – при узгодженому та зустрічному їх ввімкненні та послідовному з’єднанні.

 

Задача № 3

Розрахувати електричне коло (рис. Р5.3), якщо U = 200 B,
X1 = wL1 = 20 Ом, X4 = wL4 = 10 Ом, X2 = wL2 = 10 Ом, XМ = wМ = 10 Ом, R3 = R4 = 10 Ом.
Перевірити баланс потужностей.

 

 

Розв’язування

 

1. Скористаємося методом контурних струмів:

 

 

де:

 

.

 

2. Підставимо числові значення:

 

,

,

або

,

.

 

3. Розрахуємо систему рівнянь відносно та

 

,

 

4. Визначимо струми в кожній гілці:

 

,

,

.

 

5. Перевіримо баланс потужностей:

 

,

 

де

 

Активна потужність Р1 передається від магнітного поля другої котушки.

,

,

,

,

.

Зміст

Основи теорії кіл. Частина І.

Розділ І. Лінійні електричні кола постійного струму……………...3

Вступ…………………………………………………………………..3

Тема 1. Елементи та параметри електричних кіл………………......3

1.1. Електричне коло та його елементи………………………...…...3

1.2. Позитивний напрямок електричного струму та напруги…...…4

1.3. Пасивні елементи електричного кола…………………………..5

1.3.1. Резистори………………………………………………...……..5

1.3.2. Індуктивна котушка……………………………………………6

1.3.3. Конденсатори………………………………………………......7

1.4. Активні елементи електричного кола та їх параметри…...…...8

1.4.1. Джерело електрорушійної сили ………………………...……9

1.4.2. Джерела струму…………………………………...…………...10

1.4.3. Еквівалентні перетворення джерел……………..……………11

1.5. Лінійні електричні кола та геометрія електричного кола..…...11

Тема 2. Теорія та розрахунок електричних кіл постійного струму.14

2.1. Основні закони електричних кіл……………………………......14

2.1.1. Закон Ома для ділянки кола……………………………..…....14

2.1.2. Перший закон Кірхгофа……………………………………….15

2.1.3. Другий закон Кірхгофа………………………………………..15

2.1.4. Закон Джоуля-Ленца…………………………………………..17

2.2. Потенціальна діаграма………………………………………......17

2.3. Складне електричне коло………………………………….……18

2.3. Еквівалентні перетворення електричних кіл……………..…....19

2.4.1. Послідовне з’єднання резисторів……………………………..19

2.4.2. Паралельне з’єднання резисторів……………………………..20

2.4.3. Змішане з’єднання резисторів………………………...………21

2.4.4. З’єднання резисторів "зіркою та "трикутником"…………….21

2.5. Розрахунок складних електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа……………………………………………..………………...25

2.6. Баланс потужностей……………………………………………...27

2.7. Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів……………………….………………………………………..27

2.8. Розрахунок складних електричних кіл методом вузлових потенціалів. Коло з двома вузлами………………………….………29

2.9. Метод еквівалентного генератора………………………………31

2.10. Принцип та метод накладання…………………………………34

2.11. Метод пропорційного перерахування…………………………36

2.12. Принцип компенсації та взаємності…………………………...38

2.13. Енергія і потужність кола постійного струму…………...……39

2.14. Передача енергії від активного двополюсника приймачу.

Умови передачі максимальної потужності…………………………40

Приклади розрахунку електричних кіл постійного струму…..…...42

Розділ ІІ. Лінійні електричні кола однофазного синусоїдного
струму …………………………………………………………….……57

Тема 3. Теорія та розрахунок лінійний електричних кіл

однофазного синусоїдного струму………………………………..…..57

3.1. Основні визначення…………………………………...…………..57

3.2. Одержання синусоїдної ЕРС………………………..…………....57

3.3. Синусоїдна напруга і струм. Часова діаграма. Зсув фаз……......58

3.4. Векторні діаграми………………………………………………....59

3.5. Діючі та середні значення змінних струмів, ЕРС, напруг...…….60

3.6. Заміна реальних кіл змінного струму колами з зосередженими параметрами……………………………………..………………………62

3.7. Кола синусоїдного струму з резистором………………………….63

3.8. Електричне коло синусоїдного струму з індуктивною котушкою….......64

3.9. Електричне коло синусоїдного струму з конденсатором……......66

3.10. Розрахунок електричного кола синусоїдного струму з

послідовним з'єднанням R, L, С.............................................................68

3.11. Розрахунок кола синусоїдного струму з паралельним

з’єднанням R, L, C……………………………………………………...71

3. 12. Енергетичні процеси в колах змінного струму………………..73

3.13. Еквівалентні параметри лінійного пасивного двополюсника...74

3.14. Основні положення символічного методу……………………...76

3.15. Застосування символічного методу для розрахунку кіл синусоїдного струму……………………………………………………78

3.16. Комплексний електричний опір та комплексна електрична провідність………………………………………………………………79

3.17. Закони Ома і Кірхгофа в комплексній формі…………………...80

3.18. Визначення комплексної повної потужності за комплексною напругою та комплексним струмом……………………………………81

3.19. Баланс потужностей……………………………………………….81

3.20. Розрахунок кіл синусоїдного струму символічним методом......82

3.21. Топографічна діаграма……………………………………………84

3.22. Кругові діаграми………………………………………………...…86

Приклади розрахунку електричних кіл синусоїдного струму.……….91

Тема 4. Резонансні явища в електричних колах……………….……..101

4.1. Резонанс напруг………………………………………….…………101

4.2. Добротність та згасання контуру……………………………….....103

4.3. Частотні характеристики кола з послідовним з’єднанням R,L,C.103

4.4. Резонанс струмів, добротність та згасання контуру……………..105

4.5. Частотні характеристики кола з паралельним з’єднанням R,L,C..106

4.6. Енергетичні процеси при резонансі…………………………….....108

4.7. Підвищення коефіцієнта потужності, практичне значення……..109

Приклади розрахунку електричних резонансних кіл…………………110

Тема 5. Електричні кола з взаємною індукцією………………………115

5.1. Взаємна індукція в колах змінного струму…………………….....115

5.2. Послідовне з’єднання котушок при їх узгодженому та

зустрічному включенні………………………………………………….118

5.3. Паралельне з’єднання котушок при їх узгодженому та

зустрічному включенні…………………………………………………119

5.4. Повітряний трансформатор………………………………………..121

5.4.1. Основні рівняння повітряного трансформатора…………...…..121

5.4.2. Режими роботи трансформатора…………………………...........122

5.4.3. Схема заміщення трансформатора………………………….......123

Приклади розрахунку електричних кіл з взаємною індукцією……...125

Зміст……………………………………………………………………...131