Розрахунок електричного кола синусоїдного струму з послідовним з'єднанням R, L, С

Нехай у колі з послідовним з'єднанням R, L, С (рис. 3.13) протікає синусоїдний струм:

i=I_m sinωt, ψ_i = 0.

Розглянемо фізичні процеси в колі та знайдемо u, φ, U, U_R, U_L, U_C.

За другим законом Кірхгофа:

u_R+u_L+u_C = u, (3.1)

або

Спершу знайдемо складові рівняння (3.1), а потім всю напругу u.

Для синусоїдального струму маємо:

u_R=Ri=R I_m sinωt=U_m.R sinωt.

.

.

Тут: U_m.R=RI_m, U_m.L=ωLI_m=X_L I_m, U_m.c=I_m /ωC=X_c I_m.

Або для діючих значень:

U_R=RI, U_L=ωLI=X_L I, U_c=I /ωC=X_c I.

Так як кожна складова рівняння (3.1) змінюється за синусоїдним законом, то і вся прикладена напруга u повинна бути синусоїдою наступного виду:

u=U_m sin(ωt+ ψ_u),

де невідомі U_m та ψ_u.

Для визначення U_m (або U) та ψ_u виразимо синусоїдні величини в рівнянні (3.1) векторами для діючих величин:

.

В відповідності с цим рівнянням побудуємо векторну діаграму напруг (рис. 3.14).

За базисний вектор, відносно якого будемо будувати інші вектори, візьмемо вектор струму І, який протікає через всі елементи кола.

На векторній діаграмі напруг ΔОАВ називається трикутником напруг. Кожна з його сторін в масштабі відображають відповідні напруги.

ОВ→U_a=U_R=IR=Ucosφ=– активна напруга;

АВ→U_р=U_L-U_C=IX_L-IX_C=I(X_L-X_C) = =IX=Usinφ=– реактивна напруга,

де Х=X_L-X_C – реактивний опір кола;

ОА→U=–вхідна напруга,

де – повний опір кола.

Зсув фаз .

Щодо значення зсуву фаз можливі три випадки:

1. X_L >X_C (або в колі з R, L) φ>0 – коло носить індуктивних характер.

2. X_L<X_C (або в колі з R, C) φ < 0 – коло носить ємнісний характер.

3. X_L=X_C , φ = 0 – коло носить активний характер (резонанс напруг).

Визначивши з векторної діаграми U та φ, можна тепер записати вираз для шуканої прикладеної напруги u.

Так як U_m=, ψ_u= φ+ ψ_i= φ, (ψ_i=0),

то u=sin(ωt+ φ).

Якщо усі сторони трикутника напруг розділити на струм І, то отримаємо йому подібний трикутник опорів (рис. 3.15).

– активна провідність;

B^'А^' → В= I_р /U=Y sinφ ==B_L - B_C = =1/ωL – ωC– активна провідність;

О^'А^'→Y=I /U=1/Z=– повна провідність;

φ=arctg(B/G)=arctg((1/ωL – ωC)/G) – зсув фаз.

Якщо всі сторони трикутника струмів помножити на напругу, то отримаємо йому подібний трикутник потужностей (рис. 3.18).

P=I_a U=GU²=UI cos φ=S cos φ=[Bт] – активна потужність;

Q=I_pU=BU²=UI sin φ=S sin φ=[Bap] – реактивна потужність;

S=UI=YU²=[BA] – повна потужність;

φ = arctg (Q/P) – зсув фаз.