Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів
Баланс потужностей
Правильність розрахунку електричних кіл перевіряється за допомогою рівняння балансу потужностей: «Алгебраїчна сума потужностей, що віддаються джерелами електричної енергії, дорівнює арифметичній сумі потужностей, що споживаються приймачами»
ΣРд=ΣРп , або ΣЕк Ік=ΣІк2 Rк.
Добуток Ек Ік береться з додатнім знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці співпадають, тобто джерело віддає енергію в коло. Добуток ЕкІк береться з від’ємним знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці протилежні, тобто джерело споживає енергію.
Якщо в електричному колі крім джерел ЕРС є ще й джерела струму, то рівняння балансу потужностей запишеться в такому вигляді:
Σ(Ек Ік+UJk Jк)=ΣІк2 Rк,
де UJk Jк=РJk – потужність к-го джерела струму.
Добуток UJk Jк береться з додатнім знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму протилежні.
Добуток UJk Jк береться з від’ємним знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму співпадають.
Метод контурних струмів являється одним з основних методів розрахунку лінійних кіл постійного струму.
Метод оснований на застосуванні ІІ закону Кірхгофа і дозволяє скоротити число розв’язуваних рівнянь.
В цьому випадку необхідно скласти стільки рівнянь, скільки незалежних контурів є в розглянутому колі, тобто n=p-(q-1) рівнянь.
При цьому рівняння складається для контурних струмів.
Контурним струмом називається умовний розрахунковий струм, що протікає через всі елементи тільки даного контуру.
Контурні струми позначаються на схемах вигнутими стрілками, а індекси позначаються римськими цифрами.
Розглянемо розрахунок складного електричного кола методом контурних струмів на конкретному прикладі.(рис. 2.15).
Проведемо аналіз схеми: p=6; q=4; n=p-(q-1)=3.
Отже, необхідно скласти 3 контурних рівнянь.
Виберемо незалежні контури, задамо напрямки контурних струмів ІІ, ІІІ та ІІІІ, а також напрямки струмів в гілках І1,...,І6.
Складемо за ІІ законом Кірхгофа систему рівнянь для контурних струмів, так звані контурні рівняння. При цьому напрямки обходу контурів визначаються напрямком контурних струмів:
I1(R1+R4+R6)-III R6-IIII R4=E1+E4;
-I1 R6+III (R2+R5+R6)-IIII R5=E5-E2;
-II R4-III R5+IIII (R3+R4+R5)=E3-E5-E4.
Введемо наступні поняття.
Власний опір контуру – це сума опорів всіх елементів, що входять до даного контуру. Будемо позначати його Rmm :
R11=R1+R4+R6 – власний опір контуру І;
R22=R2+R5+R6 – власний опір контуру ІІ;
R33=R3+R4+R5 ‑ власний опір контуру ІІІ.
Взаємний опір контуру – це опір, що належить двом суміжним контурам. Будемо позначати його Rmn:
R12=R21=R6 – взаємний опір І та ІІ контурів;
R13=R31=R4 – взаємний опір І та ІІІ контурів;
R23=R32=R5 – взаємний опір ІІ та ІІІ контурів.
Контурна ЕРС – це алгебраїчна сума ЕРС, що входять в даний контур.
EI=E1+E4 – контурна ЕРС контуру І;
EII=E5-E2 – контурна ЕРС контуру ІІ;
EIII=E3-E5-E4 – контурна ЕРС контуру ІІІ.
Тоді контурні рівняння можна переписати в такому вигляді:
II R11-III R12-IIII R13=EI;
-II R21+III R22-IIII R23=EII;
II R31-III R32+IIII R33=EIII.
Розв’язавши дану систему трьох рівнянь з трьома невідомими, визначимо контурні струми II, III, IIII.
На основі контурних струмів визначаємо дійсні струми в гілках електричного кола. При цьому необхідно врахувати наступні правила.
1. В гілці, яка входить лише в один контур, дійсний струм дорівнює контурному струму.
I1=II; I2= -III; I3=IIII.
2. В гілці, що належить двом суміжним контурам, дійсний струм дорівнює алгебраїчній сумі контурних струмів:
I4=II -IIII; I5=III -IIII; I6=III -II.
Правильність розрахунку електричного кола перевіряється за допомогою рівнянь балансу потужностей:
ΣEкIк=ΣIк2Rк.
Для нашого випадку одержимо:
E1 I1+E2 I2+E3 I3+E4 I4+E5 I5=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6.
Якщо в електричному колі є вітки з джерелами струму, то число контурних рівнянь можна зменшити на число цих віток. При цьому незалежні контури вибираються так, щоб кожна вітка з джерелом струму входила тільки в один контур. Тоді контурний струм в них буде дорівнювати струму джерела струму (див. задачу № 6).