Розрахунок складних електричних кіл методом контурних струмів

Баланс потужностей

 

Правильність розрахунку електричних кіл перевіряється за допомогою рівняння балансу потужностей: «Алгебраїчна сума потужностей, що віддаються джерелами електричної енергії, дорівнює арифметичній сумі потужностей, що споживаються приймачами»

 

ΣРд=ΣРп , або ΣЕк Ік=ΣІк2 Rк.

 

Добуток Ек Ік береться з додатнім знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці співпадають, тобто джерело віддає енергію в коло. Добуток ЕкІк береться з від’ємним знаком, якщо напрямки ЕРС та струму в гілці протилежні, тобто джерело споживає енергію.

Якщо в електричному колі крім джерел ЕРС є ще й джерела струму, то рівняння балансу потужностей запишеться в такому вигляді:

 

Σ(Ек Ік+UJk Jк)=ΣІк2 Rк,

де UJk JкJk – потужність к-го джерела струму.

Добуток UJk Jк береться з додатнім знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму протилежні.

Добуток UJk Jк береться з від’ємним знаком, якщо напрямки струму та напруги джерела струму співпадають.

 

 

Метод контурних струмів являється одним з основних методів розрахунку лінійних кіл постійного струму.

Метод оснований на застосуванні ІІ закону Кірхгофа і дозволяє скоротити число розв’язуваних рівнянь.

В цьому випадку необхідно скласти стільки рівнянь, скільки незалежних контурів є в розглянутому колі, тобто n=p-(q-1) рівнянь.

При цьому рівняння складається для контурних струмів.

Контурним струмом називається умовний розрахунковий струм, що протікає через всі елементи тільки даного контуру.

Контурні струми позначаються на схемах вигнутими стрілками, а індекси позначаються римськими цифрами.

Розглянемо розрахунок складного електричного кола методом контурних струмів на конкретному прикладі.(рис. 2.15).

Проведемо аналіз схеми: p=6; q=4; n=p-(q-1)=3.

Отже, необхідно скласти 3 контурних рівнянь.

Виберемо незалежні контури, задамо напрямки контурних струмів ІІ, ІІІ та ІІІІ, а також напрямки струмів в гілках І1,...,І6.

Складемо за ІІ законом Кірхгофа систему рівнянь для контурних струмів, так звані контурні рівняння. При цьому напрямки обходу контурів визначаються напрямком контурних струмів:

 

I1(R1+R4+R6)-III R6-IIII R4=E1+E4;

-I1 R6+III (R2+R5+R6)-IIII R5=E5-E2;

-II R4-III R5+IIII (R3+R4+R5)=E3-E5-E4.

Введемо наступні поняття.

Власний опір контуру – це сума опорів всіх елементів, що входять до даного контуру. Будемо позначати його Rmm :

 

R11=R1+R4+R6 – власний опір контуру І;

R22=R2+R5+R6 – власний опір контуру ІІ;

R33=R3+R4+R5 ‑ власний опір контуру ІІІ.

 

Взаємний опір контуру – це опір, що належить двом суміжним контурам. Будемо позначати його Rmn:

 

R12=R21=R6 – взаємний опір І та ІІ контурів;

R13=R31=R4 – взаємний опір І та ІІІ контурів;

R23=R32=R5 – взаємний опір ІІ та ІІІ контурів.

 

Контурна ЕРС – це алгебраїчна сума ЕРС, що входять в даний контур.

EI=E1+E4 контурна ЕРС контуру І;

EII=E5-E2 контурна ЕРС контуру ІІ;

EIII=E3-E5-E4 – контурна ЕРС контуру ІІІ.

 

Тоді контурні рівняння можна переписати в такому вигляді:

 

II R11-III R12-IIII R13=EI;

-II R21+III R22-IIII R23=EII;

II R31-III R32+IIII R33=EIII.

Розв’язавши дану систему трьох рівнянь з трьома невідомими, визначимо контурні струми II, III, IIII.

На основі контурних струмів визначаємо дійсні струми в гілках електричного кола. При цьому необхідно врахувати наступні правила.

1. В гілці, яка входить лише в один контур, дійсний струм дорівнює контурному струму.

I1=II; I2= -III; I3=IIII.

2. В гілці, що належить двом суміжним контурам, дійсний струм дорівнює алгебраїчній сумі контурних струмів:

 

I4=II -IIII; I5=III -IIII; I6=III -II.

Правильність розрахунку електричного кола перевіряється за допомогою рівнянь балансу потужностей:

 

ΣEкIк=ΣIк2Rк.

 

Для нашого випадку одержимо:

 

E1 I1+E2 I2+E3 I3+E4 I4+E5 I5=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6.

 

Якщо в електричному колі є вітки з джерелами струму, то число контурних рівнянь можна зменшити на число цих віток. При цьому незалежні контури вибираються так, щоб кожна вітка з джерелом струму входила тільки в один контур. Тоді контурний струм в них буде дорівнювати струму джерела струму (див. задачу № 6).