ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Рассмотрим знакопеременный числовой ряд

, (1)

Определение. Положительный ряд

(5)

называется абсолютным рядом для знакопеременного ряда (1).

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если одновременно сходятся ряд (1) и абсолютный ряд (5).

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (1) сходится, а его абсолютный ряд (5) расходится.

Теорема (признак абсолютной сходимости).

Если сходится абсолютный ряд (5), то сходится соответствующий ему знакопеременный ряд (1).

Примеры.

1) -

абсолютно сходящийся, так как ряд

-сходится (ряд Дирихле при )

2) -

условно сходящийся, так как ряд сходится по признаку Лейбница, а абсолютный ряд

расходится (гармонический ряд).

3)

Абсолютный ряд

сходится по первому признаку сравнения, так как

,

а ряд сходится как бесконечная геометрическая прогрессия.

Схема исследования знакопеременного ряда на абсолютную и условную сходимость

Исследуем ряд

, (1)

1) Исследовать абсолютный ряд

, (5)

(Признаки: сравнения, Даламбера, радикальный Коши, интегральный Коши, необходимый)

сходится расходится

ряд (1) сходится 2) исследовать сходимость

абсолютно ряда (1) по Лейбницу

сходится расходится

(не

выполняется

ряд (1) сходится условнонеобходимый

признак)