Конечные разности

Интерполяционные многочлены Ньютона

Зададимся целью придать интерполяционной формуле более простой вид, подобный виду широко используемой в математическом анализе формулы Тейлора. Если в интерполяционном многочлене Лагранжа (5) все слагаемые однотипны и играют одинаковую роль в образовании результата, хотелось бы иметь такое представление интерполяционного многочлена, в котором, как и в многочлене Тейлора, слагаемые располагались бы в порядке убывания их значимости. Такая структура интерполяционного многочлена позволила бы более просто перестраивать его степень, добавляя или отбрасывая удаленные от начала его записи члены.

Поставленной цели будем добиваться сначала для несколько суженной постановки задачи интерполяции. А именно, будем считать, что интерполируемая функция у = f(x) задана своими значениями y₀, y₁, ..., y_n на системе равноотстоящих узлов x₀, x₁, …, x_n, т. е. таких, что любой узел x_i этой сетки можно представить в виде

x_i = x₀ + ih ,

где i = 0, 1, ..., n, а h > 0 — некоторая постоянная величина, называемая шагом сетки (таблицы).

Прежде чем строить желаемые интерполяционные формулы, рассмотрим элементы теории конечных разностей.

Вычитая из каждого последующего члена конечной последовательности из n + 1 чисел у₀, y₁ ..., у_n предыдущий, образуем n конечных разностей первого порядка

Dy₀ = y₁ – y₀, Dy₁ = y₂ – y₁, …, Dy_n–1 = y_n – y_n–1,

или, проще, n первых разностей данной табличной функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить n – 1 конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

D²y₀ = Dy₁ – Dy₀, D²y₁ = Dy₂ – Dy₁, …, D²y_n–2 = Dy_n–1 – Dy_n–2.

Этот процесс построения разностей может быть продолжен, и весь он, очевидно, описывается одной рекуррентной формулой, выражающей конечную разность k-го порядка Δ^ky_i через разности (k – 1)-го порядка:

D^ky_i = D^k–1y_i+1 – D^k–1y_i, (12)

где k = 1, 2, ..., n и D⁰y_i = y_i.

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции, лежащей в их основе. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить прямой подстановкой:

Dy_i = y_i+1 – y_i,

D²y_i = Dy_i+1 – Dy_i = y_i+2 – y_i+1 – (y_i+1 – y_i) = y_i+2 – 2y_i+1 + y_i,

D³y_i = D²y_i+1 – D²y_i = y_i+3 – 2y_i+2 + y_i+1 – (y_i+2 – 2y_i+1 + y_i) =

= y_i+3 – 3y_i+2 + 3y_i+1 – y_i,

и т. д.

Подметив закономерность в коэффициентах рассмотренных представлений конечных разностей, записываем общую формулу

, (13)

которая может быть строго обоснована методом математической индукции и которая напоминает биномиальное разложение для (y – 1)^k.