ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Лекция 6

Пусть задана бесконечная числовая последовательность :

Определение. Выражение

(1)

называется числовым рядом и обозначается символом .

Можно записать:

Числа , ,…,,…- члены ряда,

- общий член ряда.

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

.

В частности:

,

,

,

……………………………………….

Построим последовательность частичных сумм .

Определение. Суммой числового ряда (1) называется конечный предел последовательности частичных сумм ряда:

,

если он существует, при этом ряд (1) называется сходящимся.

Замечание . Если последовательность не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

Используя символ числового ряда, можно записать:

Примеры.

1. Ряд

.

Его частичные суммы:

, , , ,…,

, .

Последовательность частичных сумм не имеет предела. Ряд расходящийся.

2. Бесконечная геометрическая прогрессия:

Общий член прогрессии ,

- знаменатель прогрессии.

Рассмотрим ряд:

Теорема. Если , то числовой ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии сходится и

,

если , то расходится.

Например,

1) Рассмотрим .

Преобразуем общий член ряда к виду :

Тогда и . Ряд сходится и

.

2) Рассмотрим .

В общем члене ряда выделим знаменатель геометрической прогрессии:

Тогда и . Ряд расходится.

3. Ряд

.

У него

Так как ,

то

Отсюда

т.е. .

Замечание. В большинстве случаев вычислить бывает затруднительно. Но, если знать, что ряд сходится, то в качестве приближенной суммы ряда можно рассматривать частичную сумму . При этом вычислить ряд можно с любой степенью точности.

Вывод: основная задача – установить сходимость ряда.