Основные теоремы операционного исчисления

ЛЕКЦИЯ № 2

Учебные вопросы:

1. Дифференцирование и интегрирование оригинала.

2. Дифференцирование и интегрирование изображения.

3. Свертка функций. Теорема умножения. Интеграл Дюамеля.

Литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т.2, гл.19 , § 7, 8, 12.

2. Конспект лекций.

Вопрос 1. Дифференцирование и интегрирование оригинала.

Теорема (о дифференцировании оригинала). Если и является оригиналом, то

( 1 )

Доказательство.

Найдем изображение

Замечание. Слагаемое обращается в нуль при , так как при имеем .

В частности, если , то .

Таким образом, если начальное значение оригинала равно нулю, то дифференцирование оригинала приводит к умножению его изображения на р.

Применим формулу (1) для 2-ой производной:

.

Для производной третьего порядка имеем

Применив формулу (1) раз, получим общую формулу:

.