Поняття про ймовірнісну оцінку похибки. Обчислення без точного врахування похибок.

Наближене число а може відхилятися від точного числа а* в той чи інший бік на певну величину. Тому наближене число можна розглядати як випадкову величину з математичним сподіванням. М [а] = а*.

Сама похибка Δа = а *— а також є випадковою величиною з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, М [Δа] = 0.

Розглянемо суму наближених чисел а — а_х + а₂ + • • • • • • + а_п. Гранична абсолютна похибка суми є А_а = А_а, +

+ л_а? + ...+ &_0п.

Вважатимемо, що випадкові величини А_а%, А_аг А_а

мають один і той самий нормальний розподіл імовірностей з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і середнім квад­ратичним відхиленням о. Тоді, як відомо з курсу теорії імо­вірностей, математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М [А_а] = 0. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин, тобто О [А_а] = О [А_а,] + 4- £> [А_аг] + ... + /) [А_й 1 = «0² (нагадаємо, що за означен­ням середнє квадратичне відхилення а [X] випадкової величи­ни X є У В [X], де Б [X] — дисперсія випадкової величи­ни X), а тому о[А_а] — о Уп.

Сума незалежних випадкових величин з нормальним роз­поділом імовірностей також має нормальний розподіл імовір­ностей. Як відомо, випадкова величина з нормальним розпо­ділом імовірностей з імовірністю 0,997 відхиляється в той чи інший бік від свого математичного сподівання не більш як на три середніх квадратичних відхилення. Отже, якщо практично | А,, | < За (Р (| А_а. |< За) ж 0,997 « 1), то | А_а | < За УК.

Таким чином, абсолютна похибка суми _наближених чисел «! + а₂ + • • • + а_п пропорційна числу Уп, а не числу п, як це випливало з формули (3.2). Це пояснюється тим, що практично похибки різних чисел можуть частково «гасити» одна одну, в той час як формула (3.2) передбачає, так би мови­ти, крайній випадок.

Аналогічно приходимо до висновку, що й відносна похибка добутку наближених чисел а_и а₂, ..., а_п зростає пропорційно числу У п, а не числу п.

Точний підрахунок похибок результатів обчислень набли­жених чисел досить громіздкий. Тому здебільшого на практиці точно не враховують похибок, а користуються правилами підрахунку цифр за В. М. Брадісом:

1, При додаванні і відніманні наближених чисел молод­
ший збережений розряд результату має бути найбільшим
серед розрядів, що виражаються останніми значущими цифра­
ми вихідних даних.

2. При множенні і діленні наближених чисел у результа­
ті потрібно зберегти стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю значущих цифр.

3. При піднесенні до квадрата або до куба в результаті требазберегти стільки значущих цифр, скільки їх має число,яке підносять до степеня.

4. При добуванні кореня в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх у підкореневому виразі.

5. При обчисленні проміжних результатів потрібно братина одну — дві цифри більше, ніж рекомендують попередні правила.

6. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то, щоб знайти результат з кправильними цифрами, дані треба бра­ти з такою кількістю цифр, яка забезпечує к+ 1 правильну цифру в результаті, відповідно до правил 1—4.

7. При обчисленнях одночленних виразів за допомогою лога­рифмів слід підрахувати кількість значущих цифр у тому на­ближеному даному, яке має їх найменше, і взяти таблицю логарифмів з кількістю знаків, на одиницю більшою. У кінцево­му результаті остання цифра відкидається.

Примітка. В основу цих правил покладено принцип академіка О. М. Крилова — основний принцип звичайних обчислень, тобто обчис­лень без строгого врахування похибок: Наближене число слід писати так, щоб у ньому всі цифри, крім останньої, були правильними і лише остання була сумнівною, притому не більш як на одну одиницю.

§ 5. Обернена задача теорії похибок

Досить часто доводиться розв'язувати таку задачу: визна­чити допустимі похибки аргументів х_х, х₂, ..., х_п так, щоб гранична абсолютна похибка функції у не перевищувала зада­ної величини А_у.

Користуючись формулою (3.2), помічаємо, що ця задача не визначена, оскільки, по-різному вибравши значення А_х., можна дістати одне й те саме значення А_у.

Отже, задачу можна розв'язувати кількома способами.

1. Доберемо А_х. так, щоб в (3.2) всі величини 1-^~- А_х були рівними між собою (принцип рівних впливів).

і А,

Тоді, очевидно, \-§г , -, _п _

дхі

2. Поклавши, що всі А_х. рівні між собою, дістанемо:
А ^Ли

д[ дхі

а. .вважаючи всі відносні похибки аргументів рівними між собою

л-1 ■—_г л% __________ п о

І *і І І ч І ~ "' ~~ І ^хп І ~~ та підставляючи в (3.2) вирази для А_х„ дістанемо:

х,

дхі Визначивши б, для А_х. матимемо:

їй.-

дхі