Поняття похибки наближення

Нехай – точне, але, як правило, невідоме значення деякої величини, а – її відоме наближене значення (наближення). У цьому випадку пишуть .

Означення. Абсолютною похибкою деякого числа називається абсолютна величина різниці між його істинним значенням і наближеним значенням, отриманим в результаті обчислення або вимірювання. Позначається .

.

Відносною похибкою деякого числа називається відношення його абсолютної похибки до модуля наближеного значення . Позначається .

.

Зауваження. В загальному випадку має розмірність величини , а – безрозмірна величина. Часто обчислюється в процентах, тоді вона множиться на 100%.

Оскільки істинне значення величини звичайно невідоме, то наведені вирази для похибок практично не можуть бути використані. Є лише наближене значення і для нього вводиться поняття граничної похибки.

Означення. Граничною абсолютною похибкою наближення називається число , яке не менше абсолютної похибки, тобто

(1)

Розкриваючи в останній нерівності модуль, отримаємо відрізок, який містить точне значення :

.

Граничною відносною похибкою наближення називається відношення граничної абсолютної похибки до модуля числа :

(2)

Звідси випливає наступне співвідношення, яке часто застосовується на практиці:

.

Далі розглядатимемо тільки граничні абсолютну і відносну похибки, для скорочення опускаючи слово "гранична". Також для спрощення запису покладемо

; .

Приклад 1. Знайти абсолютну і відносну похибки числа , заданого а) двома; б) трьома цифрами після коми.

Розв’язання. а) Нехай . Тоді за формулою (1)

: ;

за формулою (2):

: .

б) Нехай . Тоді за формулою (1)

: ;

за формулою (2):

: .

Оцінимо величину похибки подання дійсного числа в машинній системі числення. Два найближчих машинних числа можуть бути представлені у вигляді:

;

.

Абсолютна «відстань» між ними дорівнює:

,

а відносна «відстань» визначається виразом:

Звідси ясно, що похибка подання будь-якого дійсного числа , такого, що , задовольняє нерівності:

де – машинне подання дійсного числа .

Права частина нерівності (3) називається машинним епсилоном і позначається . Машинний епсилон – найважливіший параметр обчислювальної системи. Він характеризує відносну помилку подання дійсних чисел в пам'яті комп'ютера. Отримані вирази дають підставу стверджувати, що будь-яке число в інтервалі у машинному поданні не буде відрізнятися від 1. Звідси випливає простий алгоритм обчислення машинного епсилона:

Крок 1. ;

Крок 2. Якщо, то ;

Крок 3. .

5. Число вірних значущих цифр наближеного числа.
Правила округлення

Наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі, якщо в записі цих чисел всі значущі цифри вірні. Нагадаємо означення цих понять.

Запишемо додатне число у вигляді скінченого десяткового дробу:

,

або

,

де всі коефіцієнти і менші за число 10.

Означення. Значущими цифрами наближеного числа називаються всі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва.

Приклад 2. Виділити значущі цифри наступних чисел:

1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.

Розв’язання. Виділимо значущі цифри підкреслюванням. За означенням:

1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.

Означення. Перші значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перебільшує половини одиниці розряду, який відповідає -й значущій цифрі, тобто

.

Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними.

Обчислити наближене число з точністю означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, яка стоїть в -му розряді після коми.

На практиці при виконанні обчислень часто виникає потреба в округленні наближеного числа.

Означення. Округленням наближеного числа називається заміна його числом з меншою кількістю значущих цифр.

Для округлення числа до значущих цифр треба відкинути всі його цифри, які стоять справа від -ї значущої цифри. При цьому користуються наступними правилами:

Правила округлення:

1. Якщо перша з відкинутих цифр менше 5, то десяткові знаки, які залишилися, зберігаються без змін.

2. Якщо перша з відкинутих цифр більше 5 або дорівнює 5 і серед інших відкинутих цифр є ненульові, то до останньої цифри, що залишилася, додається одиниця.

3. Якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5 і інші відкинуті цифри є нульовими, то остання цифри, що залишилася, не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.

Приклад 3. Округлити число до семи, шести, п’яти і т.д. десяткових знаків і до одиниць.

Розв’язання. За правилом округлення:

(за правилом 3);

(за правилом 2);

(за правилом 2);

(за правилом 1);

(за правилом 2);

(за правилом 2);

(за правилом 1);

(за правилом 2).

Абсолютна і відносна похибки записуються у вигляді чисел з одною або двома значущими цифрами, і вони округлюються з надлишком. В записі наближених чисел вони вказуються так:

;

Так, для числа з прикладу 1б)

; .

Приклад 4. Виділити вірні значущі цифри наступних чисел:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

Розв’язання. Виділимо вірні значущі цифри підкреслюванням.

1) , оскільки ;

2) , оскільки ;

3) , оскільки .

Похибки округлення в ЕОМ числа , які обумовлені скінченністю розрядної сітки, для різних комп’ютерів можуть бути обчислені за формулою:

,

де – перша значуща (відмінна від нуля) цифра; – основа системи числення, що використовується в комп’ютері; – розрядність комп’ютера (для стандартної точності і для подвійної точності – для ЕОМ типу IBM).

6. Дії над наближеними числами. Похибки обчислень

Нехай , і задані абсолютні і відносні похибки їх наближень, тобто: , ; , .

Сформулюємо правила обчислення похибок при виконуванні операцій над наближеними числами.

1. При додаванні або відніманні двох наближених чисел їх абсолютні похибки додаються:

.

2. При множенні або діленні двох наближених чисел їх відносні похибки додаються:

;

.

3. При піднесенні до степеня наближеного числа його відносна похибка множиться на показник степеня:

4. Відносна похибка суми додатних доданків міститься між найбільшим і найменшим значеннями відносних похибок цих доданків:

,

де , .

На практиці для оцінки похибки приймають найбільше значення .