Модель с дискретным увеличением времени наработки на отказ

Основным допущением в этой модели является предположение о том, что отказы и ошибки программы в начале эксплуатации возникают часто. По мере отладки программы таких ошибок становится меньше, а время на­работки на отказ после ликвидации очередного отказа увеличивается (рис.).

На диаграмме величины t₁, t₂, t₃,…, t_m-1, t_m – случайные моменты времени возникновения первого, второго, третьего и так далее – m-го от­казов. Величины t⁽¹⁾, t⁽²⁾, t⁽³⁾,…, t^(m-1), t^(m) – случайные интервалы времени между соседними отказами программы (обозначены под первым рядом нижних скобок диаграммы). Интервалы Dt⁽¹⁾,Dt⁽²⁾,Dt⁽³⁾,…, Dt^(m-1),Dt^(m) также являются случайными временными интервалами.

Пусть первая ошибка, проявившаяся в результате отказа программы, произошла в случайный момент времени t₁ и была устранена. Наработка до первого отказа и возникшей ошибки равна интервалу времени t⁽¹⁾ . Вто­рая ошибка возникла в момент времени t₂. Наработка до второй ошибки определяется интервалом t⁽²⁾ . В соответствии с предположением, этот ин­тервал больше, чем t⁽¹⁾ , так как после перезапуска программа проработала время до первой ликвидированной ошибки, продолжила работу до новой, второй ошибки. Следовательно, интервал t⁽²⁾ можно представить в виде

t⁽²⁾ =t⁽¹⁾ +Dt⁽²⁾ , где Dt⁽²⁾ – дополнение интервала t⁽¹⁾ до величины интервала t⁽²⁾ .

Обобщая эти рассуждения до любого i-го интервала (i = 1,m), можно записать

t(ⁱ⁾ =t^{(i -1)} +Dt⁽ⁱ⁾ .

Случайные величины Dt⁽ⁱ⁾ являются независимыми, имеют математическое ожидание M[Dt] и дисперсию σ²_Dt.

Случайное время возникновения (i-1) ошибки t_i отсчитывается от начального момента времени t₀ =0. Время, необходимое на ликвидацию ошибки, в расчет не берется. В этом случае для всех случайных моментов времени возникновения ошибки и временных интервалов между соседни­ми ошибками можно записать:

t₁ =t⁽¹⁾ ;

t₂ = t₁ + t⁽²⁾ = t⁽¹⁾ + t⁽¹⁾ + Dt⁽²⁾;

t₃ = t₂ + t ⁽³⁾ = t ⁽¹⁾ + t ⁽²⁾ + t ⁽³⁾ = t ⁽¹⁾ + t ⁽¹⁾ + Dt ⁽²⁾ + t ⁽¹⁾ + Dt ⁽²⁾ +Dt ⁽³⁾;

….

t_m = mt⁽¹⁾ + (m -1)Dt⁽²⁾ + (m - 2)Dt⁽³⁾ +…+ 2Dt^(m-1) + Dt^(m).

Учитывая, что от момента времени t₀ =0 до начала момента t₁ не выяв­лено ни одной ошибки программы и в силу того, что интервал t ⁽¹⁾ сравни­тельно невелик, так как ошибки программы вначале ее эксплуатации про­исходят довольно часто, можно представить интервал t⁽¹⁾ как Dt⁽ⁱ⁾ . Тогда, с учетом этой замены, выражение для t_m примет вид

t_m = mD t⁽¹⁾ + (m -1)Dt⁽²⁾ + (m - 2)Dt⁽³⁾ +…+ 2Dt^(m-1) + Dt^(m) , или

Рассмотрим выражение для t⁽ⁱ⁾ при i =1. Согласно ранее принятой замене t⁽¹⁾ на Dt⁽¹⁾ , получим

t⁽¹⁾ = t⁽⁰⁾ + Dt ⁽¹⁾ = Dt ⁽¹⁾ .

Действительно, интервал t⁽⁰⁾ равен нулю, так как до начала эксплуатации программы никаких ее отказов произойти не могло. Поэтому для любого i =m при i >1 можно записать

Но t^(m) – это наработка между (m -1) и m – отказами. Тогда, для любых m, средняя наработка между (m -1) и m отказами равна математическо­му ожиданию интервала t^(m) :

Но для любого i

M[Dt⁽ⁱ⁾ ] = M[Dt] .

Поэтому

Отсюда видно, что с увеличением m увеличивается и средняя наработка между двумя отказами.

Рассмотрим среднюю наработку до возникновения m-го отказа. Она равна математическому ожиданию от t_m:

Как и предыдущем случае, из полученного выражения видно, что средняя наработка до отказа возрастает с увеличением числа отказов. Оценки M[Dt] и σ²_Dt получаются по данным об отказах программы в течение периода наблюдения t_н :

где m_н – число отказов за интервал времени (0,t_н).