Характеристическая функция

Математическое ожидание и его свойства.

Числовые характеристики случайных величин.

Характеристическая функция.

Лекция №5

Раздел 2. Случайные величины.

Тема 1. Функция распределения, плотность вероятности и числовые характеристики случайной величины.

Цель лекции: дать знания о способах описания случайных величин.

Вопросы лекции:

Литература:

Л1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.

Л2 - Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2005. — 479 с: ил.

Л3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2009.

Л4 - Плотникова С.В. Математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2005. (pdf-файл)

При решении многих задач вместо функции распределения F(x) и п.в. р(х) применяется характеристическая функция . С помощью этой характеристики оказывается целесообразным, например, определять некоторые числовые характеристики сл.в. и з.р. функций сл.в.

Характеристической функцией сл.в. называется преобразование Фурье от ее п.в. р(х):

, (2.6.1)

где - параметр, являющийся аргументом характеристической функции, - м.о. сл.в. (см § 2.8.).

Применив обратное преобразование Фурье, получим формулу, определяющую п.в. сл.в. по ее характеристической функции

. (2.6.2)

Так как размерность р(х) обратна размерности x, то величина , а следовательно, и являются безразмерными. Аргумент имеет размерность обратную размерности x.

Воспользовавшись представлением (2.5.7) п.в. р(х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (1) на дискретные сл.в.

. (2.6.3)

Иногда вместо характеристической функции оказывается удобным использовать логарифм от нее:

Y. (2.6.4)

Функцию Yможно назвать второй (логарифмической) характеристической функцией сл.в. [24].

Отметим наиболее важные свойства характеристической функции.

. (2.6.5)

2. Для симметричного распределения, когда р(х)= р(-х), мнимая часть в (1) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.

3. Если сл.в. является линейной функцией сл.в. , то ее характеристическая функция определяется выражением

, (2.6.6)

где a и b - постоянные.

4. Характеристическая функция суммы независимых сл.в. равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е., если

. (2.6.7)

Это свойство особенно полезно, так как в противном случае нахождение п.в. суммы сл.в. связано с многократным повторением свертки, что вызывает иногда затруднения.

Таким образом, учитывая однозначную связь между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией, последняя в равной мере может быть использована для описания сл.в.

Дискретная сл.в. может принять три значения (ни один из импульсов не подавлен), (подавлен один импульс), (подавлены оба импульса). Вероятности этих значений соответственно равны:

Ряд распределения в табличной форме будет иметь вид:

	0,64	0,32	0,04

По определению функции распределения дискретной сл.в. .

Поэтому .

Воспользовавшись формулой (2.5.7), можем записать выражение для п.в.

.

Согласно формуле (З) имеем

Пример 2.6.2. Сл.в. имеет равномерную п.в. в интервале от до . Требуется определить п.в. р(х), функцию распределения F(х) и характеристическую функцию cл.в. .

По условию нормировки, . Следовательно,

Графики п.в. р(х) и соответствующие ей функции распределения F(х) и характеристической функции приведены на рисунках 2.8,…,2.10.