Властивості множини цілих чисел.

Малюнок № 5.1. Зображення точок А(4) і В(-6).

Вправа: побудувати на числовій прямій точки А(5) і В(-8); знайти модулі чисел 4, 0, -17.

Розв’язання:

Для побудови точок вибираємо на довільній прямій початок відліку точку О та одиничний відрізок. Тоді для побудови точки А(5) слід відкласти праворуч від точки О п’ять одиничних відрізків, а для побудови точки В(-8) – ліворуч від точки О вісім одиничних відрізків.

Відповідно до означення модуля, │4│ дорівнює самому числу 4, тобто │4│=4. Аналогічно │0│=0. Модуль від’ємного числа дорівнює цьому ж числу з протилежним знаком, тобто │-17│=-(-17)=17.

Означення: множину М, що визначається рівністю М=М₊ÈМ_-È{0}, називають множиною цілочисленних точок числової прямої.

Із наведеного означення можна зробити висновок: кожному цілому числу відповідає точка числової прямої, але не кожній точці числової прямої відповідає ціле число. Отже, між цілими числами та точками числової прямої не існує взаємно однозначної відповідності.

Для подальшої побудови множини цілих чисел надзвичайно важливо ввести способи порівняння цілих чисел так, щоб вони не суперечили раніше прийнятим способам порівняння натуральних чисел. Отже, в наступному будемо керуватися наступними правилами порівняння цілих чисел:

1. Додатні цілі числа порівнюються за правилами порівняння натуральних чисел.

2. Кожне додатне ціле число більше від від’ємного цілого числа.

3. Нуль менше, ніж будь-яке додатне ціле число.

4. Нуль більший за будь-яке від’ємне ціле число.

5. Із двох від’ємних цілих чисел більшим буде те, модуль якого менше.

Якщо використати числову пряму для порівняння цілих чисел, то наведені вище правила можна звести до одного: із двох цілих чисел більшим буде те, яке розміщене на числовій прямій правіше (із двох цілих чисел меншим буде те, яке розміщене на числовій прямій лівіше). За допомогою вказаних правил порівняння цілих чисел ми задали на множині цілих чисел відношення рівності та більше (менше), тобто відношення порядку.

3. Враховуючи все вищесказане можна сформулювати наступні властивості множини цілих чисел.

Властивість 1: множина цілих чисел нескінченна.

Властивість 2: множина цілих чисел дискретна.

Властивість 3: множина цілих чисел впорядкована.

Властивість 4: множина цілих чисел зчисленна.

Доведення:

Як відомо, множина називається зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел. Для доведення теореми розмістимо всі цілі числа в такому порядку: Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,…, -n, n,…}. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множинами цілих і натуральних чисел так, як це зроблено в таблиці № 5.1.

Таблиця № 5.1. Взаємно однозначна відповідність між множинами Z і N.

Із наведеної таблиці можна зробитися висновок, що Z~N, а тому множина цілих чисел зчисленна. Властивість доведено.

Властивість 5: множина цілих чисел замкнена відносно операцій додавання, віднімання і множення.