Операція еквіваленції предикатів.

7.2. Для того, щоб визначити операцію еквіваленції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів два предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „для того, щоб х – склав всі екзамени, необхідно і достатньо, щоб він набрав прохідний бал” – еквіваленцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Таблиця № 2.10. Таблиця істинності еквіваленції висловлень.

Означення: еквіваленцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)↔В(х), який визначений на тій самій множині Х і який істинний при всіх тих хÎХ, при яких значення істинності предикатів А(х) і В(х) співпадають.

Оскільки при оперуванні із складенимипредикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)↔В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)↔В(х), тобто Т_А↔_В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності Т_А↔_В можна знайти, використавши рівність А(х)↔В(х)=((Ā(х)ÚВ(х))Ù(В(х)ÚА(х))). Отже, маємо: Т_А↔_В=(Т_АÈТ_В)Ç(Т_ВÈТ_А).Оскільки відомо, що предикат А(х)↔В(х) буде істинним для тих значень хєХ, для яких предикати А(х) і В(х) одночасно істинні або хибні, тобто на множинах Т_АÇТ_В і Т_{`А</sub>ÇТ<sub>`в}. Отже, множиною істинності предиката А(х)↔В(х) – є об'єднання цих множин, тобто Т_А↔_В=(Т_АÇТ_В)È(Т_{`А</sub>ÇТ<sub>`в}) (див. діаграму № 2.7.).