Моделирование систем многих частиц методом молекулярной динамики

Цель:понимание качественных свойств системы многих частиц, получение макрохарактеристик (температура, давление, энергия).

Рассмотрим физическую модель (модель двухчастичного взаимодействия):

1. молекулы являются химически инертными;

2. движение молекул классическое, подчиняется нерелятивистской динамике, выполняются законы Ньютона;

3. сила взаимодействия двух молекул зависит только от расстояния между ними;

4. поэтому полная потенциальная энергия U определяется суммой энергий двухчастичных взаимодействий

N N

U=V(r₁₂)+ V(r₁₃)+ …+V(r_1N)+ …+V(_rN-1,N)=∑ ∑V(r_ij)

i=1 j=i+1

где r_ij – абсолютные величины расстояний между i-ой и j-ой частицами.

Такая модель хорошо описывает «простые» жидкости, например, жидкий аргон.

5. Для большинства задач достаточно использовать феноменологическую формулу, учитывающую, что при малых r сила взаимодействия между молекулами F(r)=-gradU(r) является силой отталкивания, а при больших r – силой притяжения. Отталкивание в соответствии с квантово-механическими представлениями обусловлено правилом запрета Паули. Слабое притяжение при больших r главным образом обусловлено взаимной поляризацией каждого атома. Результирующая сила притяжения называется силой Ван-дер-Ваальса.

6. Выбор вида потенциала (вызывает немало дискуссий)

Математическая модель физической модели – задача Коши для СДУ

i-я частица движется, все остальные действуют на нее, и так по всем i частицам.

Система детерминированная, т.к. задана начальная конфигурация системы и система линейная с постоянными коэффициентами. Решают систему численными методами (основанными на методе конечных разностей), например, методом Верле и ускоренным методом Верле.

Рассмотрим подробно в физической модели выбор потенциала, в математической модели– преобразуем систему к виду, удобному для решения, обсудим численные методы, рассмотрим метод Верле. Компьютерная модель – рассмотрим блок-схему и программу.

Одна из самых употребительных феноменологических формул для описания потенциала межмолекулярного взаимодействия:

- потенциал Леннарда-Джонса, σ – определяет «характерную» длину потенциала межмолекулярного взаимодействия, V₀ – глубина потенциальной ямы, две эти величины выберем в качестве единиц измерения расстояний и энергии (это гораздо удобнее для программирования и компьютерных вычислений), т.е.

.

Рис.1. Примерный график потенциала Леннарда- Джонса.

Видно (рис.1), что потенциал достигает максимального значения –V₀ в точке r₀=2^1/6 σ и V(r)=0 в точке r_min= σ. В выбранных единицах измерения потенциал имеет вид

. Из графика видно, что потенциал является короткодействующим, т.е. при ≥2,5 σ ≈0.

Первое слагаемое в правой части

описывает энергию отталкивания молекул, второе – энергию притяжения. Потенциал Леннарда-Джонса может применяться для описания свойств переноса инертных газов и других газов, молекулы которых можно приближенно считать сферическими.

Молекулы, обладающие дипольным моментом, имеют потенциал межмолекулярного взаимодействия, не обладающий сферической симметрией. Дипольное взаимодействие между молекулами, которое зависит от их ориентации и расстояния между молекулами в минус третьей степени, учитывается дополнительным третьим слагаемым:

Здесь δ - функция угловой ориентации молекул и величины дипольного момента μ_D.

Так как двухатомные и трехатомные молекулы обладают квадрупольными моментами, потенциал их взаимодействия будет сферически несимметричным:

, где q - функция квадрупольного момента, углов наклона осей молекул к линии центра, азимутального угла.

.