Прийняття рішень методом аналітичної ієрархії

Основними етапами методу аналітичної ієрархії є декомпозиція первісної складної проблеми та подання її у вигляді ієрархії аспектів та критеріїв, організація опитування експертів з метою отримання локальних пріоритетів складових ієрархії та синтез значень пріоритетів альтернатив відносно фокуса - кореня ієрархії.

Алгоритм методу аналітичної ієрархії

Ієрархія з однаковою кількістю й функціональним складом альтернатив під критеріями

Проблема, яку необхідно розв’язати, найчастіше зводиться до обґрунтування вибору певної альтернативи з множини можливих, яким властива складна ієрархія аспектів і критеріїв. Останній рівень цієї ієрархії - листя, тобто власне альтернативи, а передостанній, безпосередньо пов’язаний із ним, - критерії оцінювання якості альтернатив. Основний варіант подання проблеми - ієрархія з однаковою кількістю й функціональним складом альтернатив під критеріями, тобто та, у якій альтернативні варіанти оцінюються за всіма критеріями передостаннього рівня. Коли з якихось причин не всі альтернативи можна оцінити за всіма критеріями, застосовуються модифікації МАІ.

Алгоритм синтезу глобальних пріоритетів альтернатив

Головне завдання МАІ - визначення глобальних пріоритетів альтернатив, тобто їх пріоритетів відносно кореня ієрархії. Як вихідні дані при цьому використовують результати опитування експертів у вигляді матриць попарних порівнянь при всіх вузлах ієрархії, окрім рівня листя - альтернатив.

Ієрархічний синтез застосовують для зважування власних векторів матриць попарних порівнянь альтернатив вагами критеріїв (елементів), які є в ієрархії, а також для обчислення загальних пріоритетів альтернатив. Після побудови ієрархії та виконання попарних порівнянь для всіх вершин ієрархії , окрім листя (яке відповідає множині альтернатив) буде визначено матриці попарних порівнянь Л;('\ де і - номер рівня ієрархії (корінь ієрархії відповідає першому рівню, s - номер передостаннього рівня),,/ - індекс вершини всередині г-го рівня. Глобальні пріоритети обчислюють згідно з наступним алгоритмом, який узагальнює описане вище.

Визначаємо головні власні вектори х(р для всіх матриць попарних порівнянь ієрархії із заданою точністю (використовуємо наведене вище граничне співвідношення для побудови відповідного алгоритму та написання програми, або формулу для наближеного обчислення, або спеціалізований математичний пакет на кшталт Mathcad). Для s-ro рівня - це вже вектори пріоритетів альтернатив відносно елементів цього рівня ієрархії, тому виконуємо початкове присвоювання V(7 є J(s)) : р(р = х(-\ де р(р — вектор пріоритетів альтернатив щодо елемента

ієрархії. Для вершин інших рівнів відповідні головні власні вектори відображають переваги (пріоритети) елементів певного ієрархічного рівня стосовно елементів наступного вищого рівня ієрархії, з якими вони пов’язані безпосередньо.

Ієрархічний синтез починаємо з рівня s-l:i = s-l.

Рис. 5.3. Декомпозиція задачі купівлі автомобіля в ієрархію

Первинну множину критеріїв після аналізу було звужено до таких суттєвих: Q, — комфортність; Q2 — надійність; Оз — швидкість; Qi — вартість; ()5 — престижність; Qg — обслуговування; Q7 — гарантії; Qg — витрати пального. За допомогою опитування членів родини побудовано таку матрицю попарних порівнянь для рівня 2 — критеріїв (табл. 5.3). Після цього, порівнюючи попарно три автомобілі (А, В, С) за кожним із критеріїв (рівень 3), отримано вісім матриць (для кожного з критеріїв) розміром 3x3 (за кількістю альтернатив до вибору) (табл. 5.4).

Для всіх вершин і-го рівня обчислимо вектори пріоритетів альтернатив. Для кожного елемента Qj" побудуємо матрицю Р-і) з векторів пріоритетів альтернатив елементів ієрархії, що є прямими нащадками елемента Qj0 : Pjl) = {р*,-1)}, k є J<1\ J[l] —множина індексів елементів (і - 1)-го рівня, які безпосередніми нащадками елемента О,-0. Визначаємо вектори глобальних пріоритетів альтернатив відносно елемента Q,; ієрархії:

VO є /°) : pf = Pf xf.

і = і - 1. Якщо і > 0, то переходимо до п. З, продовжуючи обчислення, а ні - то досягнуто кореня ієрархії (фокуса) Q,(1\ і вектор пріоритетів альтернатив р,(1) — результуючий щодо ієрархії, тобто вектор глобальних пріоритетів альтернатив з точки зору генеральної мети.

Можна переобчислювати вектори пріоритетів для головних власних векторів елементів ієрархії, якщо немає потреби зберігати їх для подальшого аналізу.

Приклад 5.3. Побудова ієрархії МАІ

Для ілюстрації розглянемо такий приклад. Родина із середнім статком хоче придбати автомобіль. Унаслідок аналізу було виявлено наступні критерії, які варто брати до уваги: престижність, вартість, питомі витрати пального, комфортність, надійність, максимальна швидкість, розміри, витрати на технічне обслуговування, гарантійні зобов’язання.

Подальший розгляд дає змогу обрати як «кандидатів» три моделі та подати задачу у вигляді ієрархії (рис. 5.2).

Приклад 5.5. Обчислення глобальних пріоритетів альтернатив

Потрібно визначити глобальні пріоритети альтернатив на основі результатів прикладів 5.3, 5.4. Глобальні пріоритети обчислюють на наступному етапі алгоритму МАІ — ієрархічного синтезу. Із цією метою для виявлення складених, або глобальних, пріоритетів автомобілів виконаємо зворотний хід: із передостаннього рівня рухаємося до кореня ієрархії, збираючи вектори локальних пріоритетів у матриці та множачи їх на вектори локальних пріоритетів безпосередніх предків, доки не досягнемо кореня ієрархії. У наведеному прикладі ця процедура зводиться до збирання матриці з векторів локальних пріоритетів альтернатив за критеріями (s = 2):

'0,754 0,233 0,745 0,333 0,674 0,747 0,200 0,072'

Р,(1) = 0,181 0,055 0,065 0,333 0,101 0,060 0,400 0,650 ,

065 0,713 0,181 0,333 0,226 0,193 0,400 0,278

вектор локальних пріоритетів відносно кореня дерева

х,(1) = [0,173 0,054 0,188 0,018 0,031 0,036 0,167 0,333]т,

Знак транспонування, тут ужито для того, щоб «довгий» вектор-стовбець подати рядком.

'0,396'

р\х) = Р,(1) х = 0,341 .

0,263

Оскільки оновлене значення і = 0, то роботу алгоритму на цьому завершено. Отже, за загальним показником (попри найгірші показники за критерієм витрат пального) обрано автомобіль А, тому що інші показники є ліпшими порівняно з конкурентами.

Приклад 5.6. Обчислення індексу узгодженості та відношення узгодженості для ієрархії

Нехай задано наступну ієрархію проблеми (рис. 5.4). Потрібно визначити індекс узгодженості та відношення узгодженості для ієрархії загалом.

Рис. 5.4. Графічне зображення ієрархії проблеми

Розглянемо приклад обчислення індексу узгодженості /„ та відношення узгодженості /0 для всієї ієрархії загалом (рис. 5.3).

Щоб спростити пояснення, перенумеруємо критерії наскрізно. Нехай задано ієрархію критеріїв

і альтернатив, і для кожного елемента визначено індекс однорідності /„(О) та вектори пріоритетів критеріїв відносно критеріїв-предків X:. Відомі такі індекси однорідності: Іи( Q,) - для першого рівня; Iu(Q2), /„(Оз) - Для Другого; /„(ОД 4(0;). /„(Об). ~ Для третього, - а також х{ - вектор пріоритетів критеріїв Q2, Qg щодо критерію-предка першого рівня ієрархії Q,; х2, х3 - вектори пріоритетів критеріїв Oil - Об СТОСОВНО критеріїв-предків другого рівня Qj, Оз- Тоді індекс узгодженості розглянутої ієрархії визначаємо за формулою

п (П

їй = Іи(0х) + Р1Т + РІ(Р2РЗ)Т /.( 05) ,

KIU(Q3)J U(ft)J

а відношення однорідності - за формулою /о = Іи / М(Іи), де М(/„) — індекс однорідності ієрархії в разі випадкового заповнення матриць попарних порівнянь. Індекс однорідності ієрархії А/(/„) в разі випадкового заповнення матриць обчислюють за формулою, аналогічною до формули визначення індексу узгодженості:

f л/(/и(0і)У\

M(/„) = M(/„(Q,)) +РіТС!!“!??!1+Р*Т(Р2Рз)Т А/(/„(Оз)) .

^М(/„(0з)У .... (Г.

vM(/„(Q6)V

Особливі випадки методу аналітичної ієрархії Динамічні переваги та пріоритети

Переваги експерта, на основі яких будують матриці попарних порівнянь і обирають найкращу альтернативу, «прив’язані» до певного моменту часу, і результати такого вибору застосовні в майбутньому лише за умови стаціонарності середовища. Однак найчастіше переваги експерта з часом змінюються, тому бажано знати, якими вони будуть у певний момент часу. У такому разі основне співвідношення для обчислення головного власного вектора w та максимального власного значення Хюлх залежить від часу, тобто A(t)w(t) = іншими словами задача прогнозування експертних

переваг пов’язана з одержанням оцінок пріоритетності альтернатив у формі залежностей від часу. Для цього первинні експертні оцінки мають містити інформацію про зміну переваги однієї альтернативи над іншою на певному відтинку часу. Отже, оцінка переваги може бути задана не константою, а функцією, залежною від часу.

Такі функції можна добирати, надавши експертові якусь функціональну шкалу чи ап- роксимуючи експертні оцінки, отримані в різні моменти часу. Приклад функціональної шкали наведено нижче. У ньому функції переваги містять параметри, підбір яких дає змогу більш-менш точно описати змінні твердження та знайти область допустимих значень функцій за дев’ятибальною шкалою (табл. 5.7). Ці функції здебільшого дають змогу достатньо точно прогнозувати зміну переваг експерта на певному проміжку часу. Достовірність таких оцінок є достатньо високою в короткочасних прогнозах, і зменшується зі збільшенням періоду прогнозування.

Розв’яжемо задачу в числовому вигляді, обчислюючи для кожного моменту часу значення матриць /1(0), Л(1), А(2) та значення пріоритетів:

( 1 5 1 І) (і 4 3/2 З ''І

1/5 19 1 1/4 18 2

Ж0) = , А( 1) = '

w 1 1/9 11 2/3 1/8 1 2/3

,1 1 1 V ll/з 1/2 3/2 1 У

( 1 3 2 5 ^

*2)= 1/3 17 2/

1/2 1/7 1 1/2

,1/5 1/2 2 1 у

і відповідні значення пріоритетів альтернатив становлять

Ві (0,3534^ (0,4212^ ("0,4763")

В2 0,2738 , 0,2892 0,2991

Р(0) = , р( 1) = , р(2) =

В3 0,1365 0,0993 v ; 0,0885

В4 І0,2364І І0,1903І ІОДЗбЬ

Проаналізувавши одержані дані, можна прогнозувати на два найближчі періоди незмінність упорядкування альтернатив за пріоритетами В1} В2, В4, В3, але зі збільшенням абсолютних значень пріоритетів альтернатив J5,, В2 та зменшенням значень пріоритетів альтернатив В4, В,.

Порівняння об’єктів зі стандартами

Існує модифікація МАІ — метод порівняння об’єктів зі стандартами. Він виник унаслідок того, що метод попарного порівняння альтернатив не можна ефективно застосовувати в деяких практичних ситуаціях, а саме:

експертові можуть запропонувати для аналізу більше, ніж дев’ять альтернатив; тоді важко побудувати однорідні матриці попарних порівнянь внаслідок фізичних обмежень інтелекту людини;

із надходженням нових альтернатив може змінюватися порядок, визначений на множині вже порівняних альтернатив, що небажано в разі розв’язання низки прикладних задач, пов’язаних із чималими фінансовими, матеріальними та соціальними витратами на корегування наслідків прийнятих рішень або можливістю виникнення конфліктних ситуацій між експертами, які готують і обґрунтовують рішення, і децидентами, які відповідають за ухвалені рішення та їх наслідки;

альтернативи можуть надходити експертові для порівняння не одночасно, а через певні проміжки часу, тому неможливо порівняти всі пари об’єктів.

Для розв’язання проблеми порівняння й оцінювання альтернатив у зазначених ситуаціях застосовують метод порівняння альтернатив зі стандартами, які запроваджують рівень якості об’єкта щодо критерію якості. Наприклад, критерію «надійність» для об’єкта «програмне забезпечення» можна поставити у відповідність три стандарти, що характеризують відповідно високий (Я — high), середній (М — medium), та низький (І — little) рівень надійності. Кожен стандарт ототожнюють зазвичай із певним практичним еталоном якості. Прийнявши такі еталони, порівнюють об’єкти, аналогічні до альтернатив. Наприклад, для видів забезпечення банківських кредитів високий, середній і низький стандарти за критерієм «ліквідність» можна ототожнити відповідно з дорогоцінними металами, цінними паперами та нерухомістю.

Рис. 5.5. Вигляд ієрархії з урахуванням стандартів

Нехай С = {С0, Сс} — множина стандартів, С0 = {Я, М, L) — шкала основних і CG = {НН, НМ, ML, LL) — шкала проміжних значень (Я, М, L — відповідно високий, середній і низький рівень стандартів за визначеним критерієм, НН, НМ, ML, LL— відповідно дуже високе, проміжне між високим і середнім; проміжне між середнім і низьким; дуже низьке значення стандартів). Отже, повна шкала стандартів має сім значень.

Для конкретного елемента ієрархії Q? є Q визначають підмножину стандартів С? с С (для елементів Qf, Q^s ієрархії на рис. 5.5 задано стандарти Я, М, L, а для елемента

стандарти Я, НМ, М, ML, L). Експерт може надати різні значення одним і тим самим за найменуванням стандартам, що стосуються, зокрема елементів Qf і Q|. Вектори пріоритетів альтернатив щодо елементів ієрархії, що враховує стандарти, обчислюють наступним чином.

Для кожного елемента Qj ієрархії, безпосередньо пов’язаного зі стандартами, визначають підмножину Cj с С. За дев’ятибальною шкалою переваг порівнюють пари стандартів, що є елементами підмножини С/, і сформовані відносно Q/. Відносні переваги стандартів фіксують у матрицях, за допомогою яких можна визначити для них головні власні вектори Xj, що відображають пріоритети стандартів щодо критеріїв нижнього рівня ієрархії, з котрими вони пов’язані безпосередньо. Ці вектори є числовими оцінками значень стандартів для кожного із зазначених вище критеріїв. У власному векторі верхній індекс С свідчить про належність вектора до рівня стандартів у ієрархії.

В ієрархічній структурі стандарти присвоюють елементам, безпосередньо пов’язаними з альтернативами. При цьому кількість стандартів для кожного такого елемента (критерію якості) може бути різною. Її визначає експерт з огляду на конкретну ситуацію. Для кожного стандарту експерт подає відносний ступінь переваги, що відображає значущість стандарту для нього. Числове значення стандартів знаходять, порівнюючи їх пари за дев’ятибальною шкалою та визнаючи вектор пріоритетів на основі відповідної матриці попарних порівнянь.

Розглянемо правила побудови ієрархії (рис. 5.5), у якій узято до уваги стандарти й алгоритм обчислення векторів пріоритетів альтернатив.

альтернатив має вигляд хи = (хі,..., xg,..., х„, х,(С) хіс>) = (дсі, ..., xg х„, xg,..., xg).

Переіндексуємо ЙОГО компоненти І отримаємо X - (х{, ..., x'g, ..., х'п, х'п+\, ..., х’п+т). Потім виконаємо нормування:

ґ /п+т Іп+т \

X(N) = ( х[ ^ Х'і> -> х'п+т j X X,'J ■

Як і метод порівняння за стандартами, метод копіювання не порушує порядку раніше проранжованих альтернатив у разі додавання нових, що є копіями раніше проранжо- ваних. Окрім того, кількість альтернатив у разі додавання копій може перевищувати граничне значення, яке дорівнює дев’яти для методу попарного порівняння.

Метод копіювання дає змогу істотно скоротити час експертів на підготовку первинних даних для аналізу та зменшити ймовірність унесення в них як випадкових, так і логічних помилок.

Приклад 5.10. Порівняння альтернатив методом копіювання

Для чотирьох альтернатив В\, В2, Вз, ВА після побудови матриці попарних порівнянь визначено вектор пріоритетів

В\ Ві Вз В4 р = (0,400 0,300 0,200 0,100)т.

Після цього надійшли дві альтернативи В5, В6, перша з яких еквівалентна альтернативі В2, а друга - В4. Потрібно обчислити значення компонент вектора пріоритетів усіх альтернатив за допомогою методу копіювання.

З урахуванням копіювання отримаємо вектор

В\ В2 Вз В\ Дї Be х = (0, А 0,3 0,2 0,1 0,3 0,1)т,

пронормувавши який, маємо вектор пріоритетів альтернатив

В\ #2 Вз В\ Bs В& р = (0,286 0,214 0,143 0,071 0,214 0,071)т.

Багатокритерійний вибір на ієрархіях із різною кількістю та складом критеріїв оцінювання альтернатив

У практиці прийняття рішень трапляється, що експерт оцінює альтернативи не за всіма критеріями. Так буває тоді, коли множина критеріїв надлишкова щодо однієї чи кількох альтернатив. Отже, у такому разі експерт має різну кількість альтернатив під кожним критерієм або під їх частиною (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Графічне зображення ієрархії з різним складом критеріїв оцінювання альтернатив

При цьому різні альтернативи оцінюють за різною кількістю критеріїв. Розглянемо алгоритм визначення вектора пріоритету альтернатив, якщо ієрархія має один рівень критеріїв, об’єднаних фокусом (рис. 5.6). У ньому враховано значущість критеріїв і те, що вони мають різну кількість альтернатив.

Алгоритм побудови вектора пріоритету альтернатив у разі оцінювання їх різною кількістю критеріїв складається з наступних кроків.

Первісну проблему структурують у вигляді ієрархії критеріїв Q = (Qi, Q2, -, Qn)

і альтернатив В = (В„ В2, ..., Вт).

На основі ієрархічної структури визначають бінарну матрицю Н = {h^, hy є (0; 1}, і - 1, т, j = 1, п.: = 1, якщо альтернативу В, оцінюють за критерієм Q, а ні — то 0.

Виконують експертне оцінювання альтернатив за відповідними критеріями, використовуючи метод попарного порівняння (а також порівняння за стандартами чи метод копіювання). На основі матриць попарних порівнянь альтернатив за критеріями будують матрицю головних власних векторів А, стовпці якої є векторами пріоритетів альтернатив відносно критеріїв:

Qi Ог — 0л

А (an а\2 ...

В‘2 а21 а22 ... чіщ

А =

Br ^flrl &г2 ••• Urns'

atj = 0, якщо альтернативу В,, не оцінюють за критерієм Q,- Вектори в цій матриці мають різну кількість ненульових елементів і можуть бути нормовані чи ненормо- вані залежно від застосованого методу порівняння альтернатив.

Формують матрицю попарних порівнянь критеріїв та визначають нормований вектор пріоритетів критеріїв

Будують нормувальну матрицю 5 для матриці векторів пріоритетів альтернатив А та матрицю структурного критерію L:

Qi Q2 Qn

(2>і1 0 ... 0 ^ & & Q,

) ) (n/k о ... о ^

5= 0 ... 0 > 0 r2/k ... 0 ;

fry1 \ 0 0 ... гп/Ь

0 0 ... J ^

де г} — кількість альтернатив множини В, порівнюваних за критерієм Q,,

k = ±rj. і=1

Визначають вектор р пріоритетів альтернатив щодо критеріїв залежно від ситуації. Для випадку, коли матриця А ненормована,

Vт у1 ^

[§*] _° _ - 0 х = Ах S х Lx х, В = 0 [X *') — ® , р = В хх.

0 ... [±хХ

\ \І=і /

Якщо ж матриця А нормована, то х = А х L х х. Тоді як у попередньому випадку, побудуємо матрицю В; р = В х х. Стоп.

Отже, діагональна матриця В призначена для остаточного нормування значень вектора пріоритетів альтернатив. Використання структурного критерію L дає експертові чи децидентові змогу в разі потреби змінювати ваги альтернатив, пов’язаних із відповідними критеріями, пропорційно до Vj/k. Це підвищує пріоритет альтернатив, що утворюють великі групи, і знижує його в групах, де альтернатив відносно небагато (групу утворють альтернативи, що порівнюються за певним критерієм). Можливість застосування структурного критерію L зумовлена тим, що в критеріїв-предків із високим пріоритетом в ієрархії може бути багато альтернатив-нащадків, а в критеріїв-предків із низьким пріоритетом їх значно менше. У такій ситуації бажано підвищити пріоритети альтернатив у великій групі, оскільки, якщо альтернатив багато, то кожна з них одержує менший складений пріоритет, ніж ті, що входять до меншої групи з низьким пріоритетом критерію.

Якщо ж потрібно підвищити пріоритет рідкісних альтернатив-нащадків, які утворюють щодо критеріїв-предків маленькі групи, то значення діагональних елементів матриці L доцільно обчислювати за оберненим співвідношенням. Спосіб формування структурного критерію може бути й іншим. Це головна проблема в обґрунтуванні такого підходу і початкова невизначеність просто переходить в іншу площину - визначення способу формування структурного критерію.

Приклад 5.11. Обчислення пріоритетів на ієрархіях з різною кількістю та складом критеріїв оцінювання альтернатив

Задано ієрархію, що включає до складу корінь (фокус ієрархії), два критерії наступного рівня та п’ять альтернатив.

Рис. 5.7. Структура ієрархії з різною кількістю альтернатив під критеріями

За критерієм 0І2) оцінюють усі альтернативи, а за критерієм Q^ ’ - лише альтернативи В4, В5. Унаслідок опитування експерта отримано такі матриці попарних порівнянь:

-(і 3' *-,(! 3'

(1 1 1 1 І\

11111 Д(2) = 1 1 1 1 1 .

dim

Потрібно визначити пріоритети альтернатив.

Проблему структуровано в умові задачі. Побудуємо матрицю Я, що відображає факт оцінювання альтернативи В, за критерієм Q-.

(\ 0]

0 Н= 10.

л ь

За критерієм Ql21 оцінюють усі альтернативи (тому в першому стовпці матриці - усі 1), а за критерієм Qj2' _ альтернативи Вл, В5 (тому в другому стовпці - лише дві 1).

Визначимо головні власні вектори матриць попарних порівнянь ієрархії. За матрицями попарних порівнянь для альтернатив за критеріями побудуємо матрицю головних власних векторів А:

X.[1} = (0,5 0,5)т, х[2) = (0,2 0,2 0,2 0,2 0,2)т, х^ = (0,5 0,5)т,

а{2) а,(2)

Ві( 0,2 O']

В2 0,2 0

А = Вз 0,2 0 .

В4 0,2 0,5

В5 ч0,2 0.5,

Сформуємо нормувальну матрицю 5 для матриці А векторів пріоритетів альтернатив і матрицю структурного критерію L:

оГ

< 3 '

а(2) of l = (5/7 °)

К 0 2/7)

Матриця А нормована, тому нормувальну матрицю можна було не визначати - вона, як має бути, одинична, і обчислення лише підтвердило це.

Визначимо вектор р пріоритетів альтернатив відносно критеріїв:

(0,2 (П (0,143 0 "і

°’2 ° (5/7 0) °’143 °

AxL = 0,2 0 х 7 = 0,143 0 ;

І 0 2/7)

2 0,5 0,143 0,143

,0,2 0,5J V0,143 0,143,

(0,143 0 "ї ^0,0715^ ^0,5-1 0 0 0 0

0,143 0 0,0715 0 0,5'* 0 0 0

AxLxx= 0,143 0 *(05J = °-0715 в = 0 0 0,5_1 0 0 ,

0,143 0,143 ' 0,143 0 0 0 0,5-1 0

,143 0,143/ V 0,143 J [ 0 0 0 0 0 5-і

"0-Г' 0 0 0 0 ^ (0,07154) (0,143>|

0 0,5-1 0 0 0 0,0715 0,143 р = BxAxLxx\l) = 0 0 0,5_1 0 0 х 0,0715 = 0,143

0 0 0.5'1 0 °’143 0,286

о 0 0 0,5 V 1°-143^ v0,286J

Не беручи до уваги структурного критерію, ми отримаємо вектор пріоритетів у вигляді р' = Ах х{1} = (0,1 0,1 0,1 0,35 0,35)т. З урахуванням структурного критерію альтернативи менш різняться між собою, ніж без його врахування (удвічі в першому випадку та в 3,5 разу в другому).

Отже, у разі застосування різноманітних структурних критеріїв після обчислень потрібно провести додатковий якісний аналіз одержаних результатів.

Урахування тверджень декількох експертів

Щоб підвищити об’єктивність і якість процедури прийняття рішень, доцільно брати до уваги думки декількох експертів. Для цього провадять групову експертизу. При цьому множину експертів можна поділити на кілька підмножин залежно від галузі експертизи, яка зумовлює характер критеріїв, що використовуються в ієрархії. З метою оцінювання вагомості критеріїв і альтернатив у такому підході залучають фахівців-керівни- ків (користувачів), маркетологів, виробничників, теоретиків, фахівців у галузях бізнес - реінженерії, консалтингу тощо.

Твердження експертів у багатьох випадках агрегують за допомогою середнього геометричного, й елементи агрегованої матриці порівнянь Ал = {щ } обчислюють за формулою

де п - кількість експертів, А(к) = {а к)} - матриця попарних порівнянь k-то експерта. Цей спосіб ґрунтується на такому твердженні: якщо два рівноцінні експерти, порівнявши об’єкти зазначають оцінки h і Х/h, то це свідчить про еквівалентність об’єктів, що порівнюються.

Твердження експертів можна усереднювати, виходячи з власних векторів матриць попарних порівнянь. Це дає ті самі результати, що й отримані за допомогою елементів матриць, якщо однорідність складених матриць достатня та задовольняє умову /0 <0,10.

У багатьох випадках потрібно зважувати твердження й оцінки експертів, щоб урахувати їхню кваліфікацію. Тоді для одержання обґрунтованих ваг експертів можна застосувати МАІ, побудувавши ієрархічну систему критеріїв оцінювання кваліфікації експертів (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Приклад ієрархи для оцінювання ваги експертів

Якщо ваги експертів різні, то агрегування виконують за допомогою співвідношення

яЛ*=ГК‘> І> = 1-

4=1 1

де п — кількість експертів, dk> 0 — «вага» k-то експерта. Зрозуміло, що і в цьому разі залишаються відкритими проблеми визначення ваг і пошуку «надексперта», котрий оцінював би експертів.

Приклад 5.12. Кластеризація експертів за групами критеріїв оцінювання

Потрібно поділити експертів на групи, щоб можна було прийняти комплексне рішення зі створення інформаційної системи.

Фокус ієрархії — проблема створення інформаційної системи. На наступному рівні виділимо основні аспекти та види забезпечення цієї системи. Оцінюючи варіанти рішень з її створення, доцільно поділити експертів за аспектами (аспекти використання й експлуатації системи - погляд з боку осіб, які будуть щоденно експлуатувати її; економічні аспекти - вартість закупівлі, розроблення та підтримання відповідного забезпечення) й основними видами забезпечення (експерти з програмного й апаратного забезпечення) (рис. 5.9)

Рис. 5.9. Кластеризація експертів за групами критеріїв оцінювання

Приклад 5.ІЗ. Агрегування тверджень експертів за допомогою середнього геометричного

Є оцінки двох експертів у вигляді матриць попарних порівнянь А(1) і Л<2>.

( 1 2 1/Т\ ( 1 3 1/5\

Aw = 1/2 1 1/5 та Л(2) = 1/3 1 1/3 . v 7 5 1 ) І 5 3 1 ,

Потрібно визначити пріоритети альтернатив, що відображали б агреговані переваги двох експертів за умови їх однакової важливості.

Обчислимо агреговані оцінки головних власних векторів, максимальні власні значення й оцінки однорідності двома способами; а) обчислюючи спочатку вектори пріоритетів із подальшою агрегацією та нормалізацією; б) агрегуючи спочатку матриці попарних порівнянь, а потім обчислюючи значення.

Для заданих матриць власні вектори, максимальні власні значення й оцінки однорідності такі:

для матриці Л(,) власний вектор х(ЛП)) = (0,150 0,160 0,744)т; власне значення ЛІПМ = =3,121; індекс узгодженості Іу = 0,06; Індекс однорідності Іа = 0,103

для матриці Л<2): х(Ат) = (0,223 0,127 0,650)т; ^ = 3,297; Іу =0,148; /„ = 0,255.

Агрегування на рівні власних векторів дає х(Ал* ) = (0,184 0,117 0,699)т.

Агрегуємо спочатку матриці попарних порівнянь і отримаємо агреговану матрицю

( 1 2,450 0,169^1 Ал = 0,408 1 0,258 .

,5,900 3,870 1 ,

Визначимо власний вектор матриці х(Ал) = (0,184 0,116 0,7)т.

Порівнюючи вектори х(ААх) та х(Аа), доходимо до висновку про їх майже ідентичність, навіть попри те, що однорідність оцінок другого експерта незадовільна (/0 = 0,255). Отже, якщо рівень однорідності тверджень експертів доволі високий, то можна застосовувати агрегацію за допомогою одного з цих двох способів, оскільки результати будуть близькими.

Застосування методу аналітичної ієрархії в плануванні та залагодженні конфліктів

Метод аналітичної ієрархії у багатьох випадках застосовують на практиці в різних галузях економіки, промисловості та науки. Проілюструємо можливості використання МАІ на прикладах, які для зосередження уваги на найважливіших аспектах викладені дещо схематично з погляду обчислень.

Приклад 5.14. Припустімо, що велика фірма має побудувати свою філію в одній із країн з перехідною економікою, які умовно позначимо як А, В, С, D, Е. Мета будівництва - отримати доступ до зарубіжних ринків збуту та зменшити витрати виробництва за рахунок нижчої оплати праці в цих країнах. При цьому слід узяти до уваги й потенційні витрати: певну втрату контролю за управлінням, переважання некваліфікованої робочої сили, ризик зміни політичних і економічних умов у обраній країні.

Застосовуючи МАІ для вирішення цієї проблеми, насамперед треба чітко визначити потенційні вигоди й витрати, які слід ураховувати. Цю проблему доцільно розв’язувати як щодо можливих прибутків (вигід), так відносно можливих втрат (витрат). Тому потрібно окремо розглядати вигоди та витрати, й будувати дві ієрархії (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Ієрархії витрат і вигод будівництва філії

Створивши ієрархію проблеми, потрібно опитати експертів і заповнити матриці попарних порівнянь, а потім визначити для всіх матриць локальні пріоритети та показники узгодженості. Після цього слід перейти до синтезу глобальних пріоритетів країн-альтернатив із погляду вигід

і витрат будівництва в них філій фірми. Потрібно виключити країни, які не оптимальні за Парето відносно як доходів, так і витрат, і детально проаналізувати альтернативи, що залишилися. Окрім того, для обґрунтування остаточного варіанта можна застосувати глобальний критерій «вартість - ефективність», визначивши проект із найбільшим відношенням вигід до витрат як найкращий, оскільки в жодній країні ще не існує філій фірми. Якби в якійсь країні вже існувала філія, то доцільніше було б оцінювати, як зміняться вигоди та витрати порівняно з чинними.

Отже, можна застосовувати МАІ з кількома критеріями-фокусами (кількома ієрархіями), а для остаточного вибору альтернативи треба побудувати узагальнений критерій, або ж застосувати МАІ до критеріїв-фокусів.

Приклад 5.15. Побудова ієрархи для обрання сценарію розвитку університету

Потрібно побудувати ієрархію для обрання сценарію розвитку університету як складову процесу стратегічного планування розвитку на найближчі десять років. На сценарій впливають різні проблеми та сили, що залежать від різних акторів, які мають власні цілі. Можливі кілька сценаріїв, що задають політики керування для досягнення бажаного стану.

На попереджувальний сценарій (забезпечення успішності функціонування університету й, виходячи з цього, і політики керування) впливають різноманітні проблеми та сили: навчання, суспільне життя, «дух» - традиції та реноме університету, наявність потрібного обладнання та матеріально-технічна база, діяльність поза межами навчальних приміщень (рис. 5.11).

Актори - це адміністрація інституту й міста (регіону), професорсько-викладацький склад, студенти, спонсори та ін. Цілі, яких прагнуть досягнути різні актори, також різні. Наприклад, для студентів це здобуття якісної освіти та в подальшому престижної роботи, що відповідатиме отриманому рівню освіти, для адміністрації - безпосередня праця та забезпечення належного рівня освіти.

Побудовану таким способом ієрархію слід уточнювати й у разі потреби змінювати та доповнювати. Досвід показує: що точніше складено ієрархію, то менші перетворення потрібні для доповнення її новими елементами.

Рис. 5.11. Ієрархія для обрання сценарію розвитку університету

Отже, МАІ широко застосовують для прийняття рішень у найрізноманітніших галузях, особливо за умов слабкої структурованості, оскільки він дає змогу структурувати проблему за допомогою декомпозиції та побудови ієрархії, а також працює з даними, отриманими як дослідним, так і експертним способом, та дає змогу оцінити послідовність тверджень експерта.

Контрольні запитання

Розкрийте суть методу аналітичної ієрархії.

Яка послідовність побудови ієрархії в МАІ?

Що таке «локальний пріоритет»?

У якій шкалі реалізують попарні порівняння в МАІ?

Який зміст має відношення узгодженості?

Яка мета ієрархічного синтезу?

Як обчислюють значення локальних пріоритетів?

Як оцінюють узгодженість ієрархії?

Виходячи з яких міркувань будують індекс узгодженості?

Як моделюють зміну пріоритетів експертів у часі?

З якою метою провадять кластеризацію експертів?

У яких ситуаціях доцільно застосовувати метод порівняння об’єктів зі стандартами?

Коли об’єкти порівнюють методом копіювання?

Для чого провадять багатоособову експертизу?

Завдання для самостійного розв’язування

Визначте мінімальну кількість порівнянь (запитань для експерта), щоб побудувати матрицю попарних порівнянь для шести об’єктів.

Для порівняльного оцінювання п’яти об’єктів (А, В, С, D, Е) експерт виконав по- парні порівняння та дав такі оцінки у вигляді тверджень. Перевага об’єкта Е над D - між помірною та суттєвою. Об’єкт В помірно переважає об’єкт С. Перевага об’єкта Е над А - між суттєвою та значною. Об’єкт А дуже переважає об’єкт D. Перевага об’єкту С над D знаходиться між значною та дуже великою. Об’єкт А помірно переважає об’єкт В. Об’єкт С помірно переважає об’єкт Е. Об’єкт В помірно переважає об’єкт D. Об’єкт С помірно переважає об’єкт А. Об’єкт В помірно переважає об’єкт Е. Побудуйте відповідну матрицю попарних порівнянь.

Обчисліть індекс узгодженості та показник узгодженості для ієрархії прикладу 5.3, використовуючи локальні значення цих показників, отримані в прикладі 5.4.

Для оновлення комп’ютерного парку корпорації потрібно вибрати один із чотирьох типів комп’ютерів, беручи до уваги технічний, вартісний і ергономічний аспекти, а також супровід. Критерії технічного аспекту - швидкодія, споживання електроенергії, можливості часткової модернізації. На вартісний аспект впливають початкова вартість і вартість щорічного утримання. Ергономічний аспект конкретизують шумові характеристики, характеристики монітора, зручності роботи з периферійними пристроями. Супровід оцінюють характеристиками гарантії, наявністю гарантійних сервісних центрів у різних регіонах і можливістю модернізації. Відповідну ієрархію зображено нижче.

У результаті опитування експерта отримано такі матриці попарних порівнянь:

Г1 1/2 УЗ V51 V2 V51

д"> = 2 2 * . А°>= 2 1 з , 4“ = , ' fl. з V2 1 V2 .5 1 J

5 1/4 2 1 J L J

Г 1 2 1/3 1/7'

Гі 1/4 1/51 1/2 12 4

л(2) _ / 1 о 4<2) — 4(3) — '

3 ч 1/9 , ’ 4 .1/3 1.’ Л 3 1/2 1 1/2’

L У J L 7 1/4 2 1 .

'1 1/3 1/5 1/7] Г1 1/4 1/5 1/71 Г 1 1/6 2 1/7'

> = 3 1 2 4 (3) = 4 1 2 4 = 6 1 2 4

5 1/2 1 1/2 ’ 3 5 1/2 11/5’ 4 1/2 1/2 1 1/5 ’

_7 1/4 2 1 J [_7 1/4 5 1 J L 7 1/4 5 1 _

"1 1/3 2 1/71 Г 1 1/3 2 1/71 Г 1 1/2 2 1/3'

3 1 2 4 3)= 3 1 2 1/2 (3)= 2 1 2 1/2

^ 1/2 1/2 11/2’ ^ 1/2 1/2 1 4 ’ 7 1/2 1/2 1 4 ’

_ 7 1/4 2 1 J L 7 2 1/4 1 J [з 2 1/4 1.

' 1 2 2 1/5] Г 1 1/3 2 1/71 Г 1 1/2 2 1/3'

(3)= 1/2 12 4 д(3) _ 3 1 2 1/2 (3)= 2 12 1/2

Л 1/2 1/2 11/2’ ^ 1/2 1/2 1 2 ’ 10 1/2 1/2 1 1/6 '

1/4 2 1 J І. 7 2 1/2 1 J L 3 2 6 1 .

Визначте локальні характеристики вершин ієрархії, оберіть найкращий варіант і оцініть послідовність експерта відносно ієрархії загалом.

Унаслідок апроксимації переваг експерта в часі одержано таку матрицю попарних порівнянь відносно чотирьох альтернатив.

( 1 5 +1 1 + 21 1/(1 + 20^

1/(5 + 0 1 9 - * 1 + * 1/(1 + 20 1/(9-0 1 1/(9-20 , 1 + 2t 1/(1 + 0 9-2* 1 ,

Потрібно визначити пріоритети альтернатив у моменти часу t = 0,1, 2, 3.

Наявні оцінки трьох експертів у вигляді матриць попарних порівнянь:

(1 4 8^ (і 1/3 1/5^ fl 1/4 П

Л(1) = 1/4 1 1/5 , А(2) =3 1 1/7 , Л(3) =4 1 1/7 . ч1/8 5 1J І5 7 1 J Vl 7 1 >

Потрібно визначити пріоритети альтернатив, що відображали б агреговані переваги експертів, якщо їх кваліфікація різна.

Для оцінювання ваг отримано таку матрицю попарних порівнянь кваліфікації експертів:

( 1 1 2Ї Е= 1 11/3.

Л/2 3 1 ,

Потрібно обрати найкращу альтернативу для такої ієрархії:

Відомі матриця попарних порівнянь стандартів

і матриці попарних порівнянь вершин ієрархії:

ї ?)■ W* \ ч

3 1 у

Визначте пріоритети альтернатив для наступної ієрархії як у разі врахування структурного критерію, так і без нього. Проаналізуйте отримані результати.

У результаті опитування експертів визначено матриці попарних порівнянь

ґ 1 1/2 З 2 ^

Л(1) _ ( 1 (2)_ 2 1 1/4 1/6 2)_f ' ]

д ~ Li/з і> А - і/з 4 і і/5 ’ л ; 15 •

Л/2 6 5 1 J