Приклад 3.18. Обчислення середнього значення.

Емпіричні системи та квазішкали

Емпіричні системи та вимірювання переваг

Як уже було зазначено, вимірювання – одна з основних процедур отримання експертної інформації. Залежно від природи оцінюваних альтернатив, міркування експертів можуть бути кількісними чи якісними. Зрозуміло, що кількісні оцінки інформативніші за якісні, проте лише за умови, що експерт може оцінити альтернативи кількісно, тобто зазначити, наскільки чи в скільки разів одна альтернатива переважає іншу. Залежно від способів вимірювання та різниці в їх точності результати порівнянь можуть виявитися протилежними.

На практиці доволі поширений такий спосіб оцінювання переваг. m експертів ранжують альтернативи за перевагою: найкращу на його погляд альтернативу конкретний експерт ставить на перше місце: вона отримує 1 бал, друга – 2 бала, і так до n–ї, яка одержує n балів. Далі для всіх альтернатив обчислюють середні арифметичні значення балів для всіх експертів, і найкращою оголошують ту, середнє арифметичне для якої є найменшим.

Розглянемо ситуацію, коли n – 1 експертів (n ³ 3) поставили першу альтернативу на перше місце, другу – на друге, і лише n–й експерт зробив навпаки. Тоді перша альтернатива отримує (1 + 1/n) балів, а друга – (2 – 1/n). У цьому разі помилка може бути дуже суттєвою, оскільки під час ранжування ступінь переваги взагалі не береться до уваги, і може статися, що в ході числового оцінювання n – 1 експертів оцінили б ступінь переваги першої альтернативи над другою як «краща на одну одиницю», а експерт n оцінив би ступінь переваги другої альтернативи над першою – як«краща на n одиниць»; тоді друга альтернатива виявилася б ліпшою, ніж перша, хоча за середнім арифметичним значенням рангу ситуація протилежна.

Уникнути таких помилок можна шляхом дослідження допустимих методів опрацювання експертної інформації за умови вимірювання її в певній шкалі. Із цією метою розглянемо поняття емпіричної та числової системи.

ОЗНАЧЕННЯ 3.6. Емпіричною системою U будемо називати множину А = {х₁, ..., х_n} альтернатив і відношення Р з носієм А – U = (А, Р). У процесі вимірювань кожній альтернативі х_i Î А ставлять у відповідність певне число, тобто виконують вимірювання емпіричної системи, унаслідок чого визначають відповідну до неї числову систему U_z = (А_z, Р_z), де А_z = {z₁, ..., z_n} – множина чисел, одержана застосуванням відображення f: А ® А_z, тобто z_j = f(x_j).

Отже, емпірична система U гомоморфно відображається в числову зі збереженням умови . Якщо в емпіричній системі відношення Р відображає переваги альтернатив, то Р_z природно розглядати як відношення «³» на множині чисел А_z.

Щоб забезпечити можливість порівняння альтернатив між собою, уведемо поняття шкали та квазішкали вимірювань. Шкалою вимірювань називається трійка . У кожному вимірюванні використовують шкалу певного типу. Часто виникає проблема порівнянності альтернатив між собою; експерт може вважати деякі альтернативи x_і й x_j непорівнянними. Водночас інколи може бути корисним непряме порівняння цих альтернатив: якщо експерт уважає альтернативу x_і кращою, ніж х_k, а х_j – гіршою, ніж х_k, то з певними застереженнями можна вважати альтернативу x_і, кращою за х_k (непрямо використовуючи транзитивність, якої може й не бути).

Для того, щоб можна було порівнювати альтернативи між собою, уведемо поняття квазішкали. Відношення Р емпіричної системи за умови наявності непорівнянних альтернатив є відношенням порядку. Надалі будемо вважати, що первісне відношення Р вже факторизоване за еквівалентністю, тобто всі наявні альтернативи різні, тому, приписуючи альтернативі певне число в шкалі чи квазішкалі, ми присвоюємо його значення всім альтернативам первісного відношення, які еквівалентні їй.

На множині альтернатив А можна виділити зв’язні підмножини (уважатимемо, що підмножина зв’язна, якщо зв’язне визначене на ній відношення). Зв’язна підмножина А_i Ì А максимальна, якщо для будь–якого х Î А, х Î А\А_i множина незв’язна. Розглянемо множину лінійних максимальних відношень порядку {Р₁, Р₂, ..., Р_n}, кожне з яких задовольняє умову P_i Ì P й об’єднання яких покриває Р, тобто

а носієм кожного з цих відношень є А_i Ì А. Відношення P_i Ì P буде максимальним лінійним порядком, якщо не знайдеться ні одного лінійного порядку P_k Ì P, для якого б виконувалась умова P_i Ì P_k. Таким чином емпірична система приводиться до множини емпіричних підсистем , побудованої таким чином, що кожне з відношень P_i Ì P є максимальним лінійним порядком.

Трійку

,

де

,

причому виконується умова

називатимемо квазішкалою.

Приклад 3.19. Емпіричну систему подано у вигляді

Граф цього відношення має дві компоненти зв’язності, тобто Р – відношенням квазіпорядку.

Рис. 3.3. Граф (а) та діаграма Гассе (б) відношення емпіричної системи

Максимальні відношення лінійного порядку такі:

Квазішкала, що відповідає емпіричній системі, є трійкою , де

а відображення в числову шкалу, наприклад:

Можливі й інші варіанти відображення, зокрема

Відповідні відображення мають вигляд

Цей приклад показує, що одній і тій самій емпіричній квазішкалі можуть відповідати найрізноманітніші відображення в числову шкалу, що відповідають різним лінійним упорядкуванням за важливістю.