Поняття та основні види метризованих відношень

Метризовані відношення та міри близькості

Основний вид експертної інформації про переваги на множині альтернатив – це інформація у вигляді емпіричних відношень, отримана в процесі опитування експертів. Відношення, одержані за допомогою експертного опитування, можуть мати такі властивості, як зв’язність, транзитивність тощо, а можуть і не мати їх. З іншого боку, властивості остаточного відношення можуть бути відомі апріорі, а результати опитування експерта у вигляді відношення можуть не мати цих властивостей. У такому разі виникає задача апроксимації отриманого відношення найближчим у певному сенсі відношенням із заданими властивостями.

У багатьох випадках експерт може дати й порівняльну кількісну оцінку альтернатив – на скільки чи у скільки разів одна альтернатива краща за іншу. Отже, оскільки результатом експертного опитування можуть бути відношення різних типів, то формалізація поняття «близькості» на множині відношень є важливою проблемою.

Для кількісного оцінювання альтернатив уведено поняття метризованого відношення.

ОЗНАЧЕННЯ 3.2. Метризоване відношення Р^M – це двійка , де Р – бінарне відношення, а М(Р) = ||m_ij||, де m_ij — число, що характеризує ступінь переваги альтернативи x_i над альтернативою х_j або ж у разі толерантності – ступінь схожості цих альтернатив. Метризоване відношення називається рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, асиметричним, антисиметричним, транзитивним, якщо відношення Р має відповідні властивості. Властивість транзитивності порівняно з неметризованим відношенням підсилюється.

Приклад 3.4. Підсилення властивості транзитивності для метризованих відношень. Нехай існують три альтернативи: x₁, х₂, х₃. Якщо альтернатива x₁ краща за х2 на 10 одиниць, а х₂ гірша, ніж х₃, на 7 одиниць (тобто краща на –7 одиниць), то х₁ має бути краща за х₃ на 3 одиниці. Якщо ж альтернатива х₁ гірша, ніж х₂, у 6 разів, а х₂ – краща за х₃ вдвічі, то x₁ має бути втричі гірша, ніж х₃. Звичайно, складно сподіватися на таку узгодженість у ході експертного опитування, тому й виникає проблема пошуку відношення, із заданими властивостями, яке було б у певному розумінні найкращим наближенням до емпіричного, отриманого від експерта.

Найпоширеніші типи метризованих відношень – адитивне та мультиплікативне.

ОЗНАЧЕННЯ 3.3. Адитивним називається метризоване відношення Р^M, для якого виконується умова

де А – носій відношення Р.

ОЗНАЧЕННЯ 3.4. Мультиплікативним називається метризоване відношення Р^M, для якого правдива умова

Для адитивного метризованого відношення m_ij показує, «наскільки» альтернатива х_i краща, ніж x_j, для мультиплікативного – «у скільки разів». Р^M називатимемо метризованим відношенням часткового порядку, лінійного порядку, толерантності чи еквівалентності, якщо відношення Р має відповідні властивості.

Елементи метризованого відношення Р^M можна подати кількома способами, одним з яких наступний. Замість двійки подамо їх у вигляді однієї матриці . Якщо Р^M – метризоване відношення часткового порядку, то значення елементів визначено так:

де число m_ij, показує, наскільки альтернатива х_i краща за х_j. Якщо альтернативи х_i й х_j рівноцінні (еквівалентні), то m_ij = 0; коли ж вони непорівнянні, уводимо символ q, одержуючи в разі потреби інформацію про рівноцінність або непорівнянність альтернатив безпосередньо з матриці Р.

Матриця метризованого відношення часткового (і лінійного) порядку узгоджена, якщо вона обернено симетрична, тобто (0 = –0 і q = –q). Узгоджена матриця – це ідеальний випадок. Насправді ж емпірична матриця має неузгодженості порівняно з ідеальним випадком.

Наприклад, матриця адитивного метризованого відношення часткового порядку може мати вигляд

Для мультипликативних метризованих відношень часткового чи лінійного порядку (якщо оцінюється, у скільки разів альтернатива х_i краща за х_j) доцільно визначити наступним чином:

де m_ij – зазначене експертом значення, яке показує, у скільки разів альтернатива x_i краща, ніж x_j.

Так, матриця мультиплікативного метризованого відношення лінійного порядку може мати вигляд

У такому вигляді можна подати й неметризоване бінарне відношення Р:

що є еквівалентним поданням матриці Р.

Таке подання дає змогу оперувати лише з матрицею без використання матриці Р відповідного неметризованого бінарного відношення.

Приклад 3.5. Після експертного дослідження перший експерт проранжував альтернативи множини–носія A = {x₁, х₂, х₃, х₄, х₅} так: 1 – х₃, 2 – x₁, (3 – 4) – (х₅, х₂), 5 – х₄, а другий експерт – інакше: 1 – x₁, (2 – 3) – (х₂, х₅), (4 – 5) – (х₃, х₄). Відповідно до цього бінарні відношення Р₁ та Р₂ матимуть вигляд

(уважаємо, що x_iPx_j, якщо альтернатива x_i не гірша за x_j). Якщо експерти далі не в стані оцінити переваги альтернатив кількісно, то відповідні матриці та будуть наступними:

Під час подальшого розгляду цього прикладу виникає запитання: наскільки близькі між собою ранжування альтернатив, подані експертами? Відповідь на нього можна отримати, маючи певну міру, тобто формулу для обчислення віддалі між відношеннями, або процедуру знаходження значення цієї віддалі.

Таке подання описується також як структура «домінування – байдужість». Для цього слід побудувати фактор–відношення відповідного неметризованого відношення Р за еквівалентністю та відповідну йому матрицю , у якій нулі є лише на головній діагоналі. Це аналогічно тому випадку, коли для еквівалентностей обирається по одному представнику з класу, тобто працює інформаційний фільтр типологічної вибірки.

Приклад 3.6. Нехай матриця адитивного метризованого відношення часткового порядку Р^M є наступною:

Тоді подання у вигляді має вигляд

(оскільки m_ij – число, що характеризує ступінь переваги альтернативи х_і над альтернативою х_j, то в матриці М(Р) для адитивного відношення m_ij ³ 0, мультиплікативного – m_ij ³ 1, а де ситуація протилежна чи альтернативи не порівнювалися міститься прочерк).

Унаслідок факторизації за еквівалентністю отримаємо розбиття множини А = {x₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆} на класи еквівалентності {{х₁}, {х₂, х₃), {х₄}, {х₅, х₆}}, тобто множина–носій факторизованого відношення – А = {A₁, А₂, А₃, А₄}, де A₁ = {х₁}, А₂ = {х₂, х₃}, А₃ = {х₄}, А₄ = {х₅, х₆}, і факторизоване відношення є таким:

Коли ж відношенням толерантності чи еквівалентності, то числа m_ij є ступенями подібності альтернатив x_і та x_j, і

і відповідна матриця Р^M симетрична.

Наприклад метризоване відношення подібності Р^M (із максимальним значенням подібності 10, що відповідає еквівалентності), таке:

Отже, метризовані відношення не лише дають змогу в числовій формі подати ступінь переваги однієї альтернативи над іншою з погляду децидента, але й зумовлюють низку запитань:

v Як оцінити близькість або розбіжність тверджень експертів, маючи результати у вигляді бінарних відношень?

v Яким еталонним бінарним відношенням найліпше апроксимувати емпіричне відношення, отримане як результат опитування експерта?

v Які дії можна виконувати над одержаними експертними результатами у формі метризованих бінарних відношень, а які ні?

v Які процедури слід застосувати для отримання числової інформації про переваги на множині альтернатив від експерта?

v Як оцінити надійність і несуперечливість експерта?