Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
Обратной матрицей к матрице A называется матрица A-1, для которой выполнено соотношение:
A A-1 = E, (3.18)
где E – единичная матрица:
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
E = 0 0 1 … 0 . (3.19)
0 0 0 … 1
Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.
Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.
Пусть A – квадратная невырожденная матрица порядка n:
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
A = a31 a32 a33 … a3n
an1 an2 an3 … ann
и A-1 – ее обратная матрица:
x11 x12 x13 … x1n
x21 x22 x23 … x2n
A-1 = x31 x32 x33 … x3n
xn1 xn2 xn3 … xnn
Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n2 уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:
a11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1
a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0
a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0 (3.20)
an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0
Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:
a11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0
a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1
a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0 (3.21)
an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0
и т. д.
Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.
Пример 3.4.
Вычислим обратную матрицу A-1 для матрицы
A = 1.8 –3.8 0.7 –3.7
0.7 2.1 –2.6 –2.8
7.3 8.1 1.7 –4.9
1.9 –4.3 –4.3 –4.7
По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу
1.8 –3.8 0.7 –3.7
0 3.57778 –2.87222 –1.36111
0 0 17.73577 19.04992
0 0 0 5.40155
Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 , 0 , 1 , 0
0 0 0 1
Каждый раз будем получать столбцы матрицы A-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A-1:
–0.21121 –0.46003 0.16248 0.26956
–0.03533 0.16873 0.01573 –0.08920
0.23030 0.04607 –0.00944 –0.19885 .
–0.29316 –0.38837 0.06128 0.18513