Пример 5.16.

D - разбиение по двум параметрам

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

MQ(p) + NR(p) + H(p)=0, (5.7)

где Q, R, H – некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p = jω. Полиномы Q, R, H распадаются на вещественные и мнимые части:

,

,

.

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение (5.7) и выделить действительные и мнимые слагаемые:

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

,

.

Получается два линейных уравнения для определения параметров M и N:

,

. (5.8)

Величины Q₁, Q₂, R₁, R₂ рассматриваются как коэффициенты, а М и N – как переменные.

Определитель системы

.

Определители параметра М и параметра N:

.

Определитель получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель – заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

Для конкретного значения ω:

.

На плоскости M, N это будет точка. Задавая ω от нуля до бесконечности, в плоскости M, N можно построить кривую, которая и есть граница D - разбиения. Система уравнений (5.8) имеет решение, если Δ ≠ 0 и Δ_M ¹ 0, Δ_N ≠ 0; и не имеет решения, если Δ = 0 (точка с координатами (M, N) уходит в бесконечность). В случае Δ = 0, Δ_M = 0, Δ_N = 0, значения M и N становятся неопределенными. Уравнения (5.8) становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости M, N. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для ω = 0 и ω = ∞.

Область устойчивости выделяется штриховкой. Правило штриховки следующее.

Если определитель Δ > 0, то двигаясь по D - кривой от ω = – ∞ до ω = + ∞, штрихуют левую сторону. Если Δ < 0, то штрихуют правую сторону ( знак определителя меняется, если + ω заменить на – ω ).

Дано характеристическое уравнение

.

Произвести D - разбиение в плоскости параметров M и N.

Полагая p = jω, находим: .

Запишем для условий задачи систему уравнений (5.8). Если какой-то из полиномов Q₁, Q₂, R₁, R₂ окажется равным нулю, вместо него надо поставить ноль.

; надо записать ,

; надо записать .

Определитель системы будет: .

Определители параметров:

,

Получаем: , . Функциональная зависимость между коэффициентами M и N представляет собой равнобочную гиперболу: MN = 1. График представлен на рис. 5.26.

Рис. 5.26. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.16

Верхняя ветвь гиперболы уходит в ∞ как для положительных, так и для отрицательных значений ω. Нижняя ветвь гиперболы уходит в ∞ при стремлении к нулю положительных и отрицательных значений ω. Учитывая эти обстоятельства, штриховка получается двойной: Δ < 0 при изменении ω от 0 до + ∞ (штриховка справа) и Δ > 0 при изменении ω от – ∞ до 0 (штриховка слева).

Определить область устойчивости в плоскости параметров M и N для уравнения:

.

Полагая p = jω, образуем частотное уравнение . Записываем его действительное и мнимое слагаемые в виде системы двух уравнений:

,

.

Составляем определитель системы

и определители параметров:

, .

Находим параметры:

, .

При неограниченном возрастании частоты M стремится к еденице, N стремится к бесконечности. При стремлении ω к нулю M стремится к бесконечности, N к нулю. Вид кривой D - разбиения показан на рис. 5.27. Замена ω на - ω вида кривой не меняет.

Рис. 5.27. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.17

Для значений 0 £ ω < + ∞ определитель Δ < 0, штриховка наносится справа. Для – ∞ < ω £ 0 определитель Δ > 0, штриховка слева. Получается двойная штриховка в сторону области устойчивости, рис. 5.27.

Литература

1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т1. Линейные системы. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.

2. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

3. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. – М.: Высшая школа, 2004. – 365 с.

Качество переходного процесса определяется совокупностью показателей, характеризующих приближение реального процесса к желаемому. О показателях судят, измеряя ряд величин в переходном процессе при единичном ступенчатом воздействии.

Показатели качества в переходном режиме подразделяют на прямые и косвенные. Прямые получают непосредственно по переходной функции. Косвенные рассчитывают.