Не­па­ра­ме­т­ри­че­с­кие ме­то­ды ана­ли­за

В био­ло­гии ча­с­то при­хо­дит­ся под­вер­гать ана­ли­зу яв­ле­ния, рас­пре­де­ле­ние ко­то­рых от­ли­ча­ет­ся от нор­маль­но­го, из­ве­ст­но­го под на­зва­ни­ем Га­ус­са-Ла­п­лас­са. В этих слу­ча­ях при­ме­не­ние двух ос­нов­ных па­ра­ме­т­ров: сред­ней ве­ли­чи­ны и ди­с­пер­сии не име­ет смы­с­ла, так как оно свя­за­но имен­но с тем пред­по­ло­же­ни­ем, что рас­пре­де­ле­ние изу­ча­е­мых со­во­куп­но­стей нор­маль­ное или бли­з­кое к не­му. В та­ких слу­ча­ях в ста­ти­сти­ке при­ме­ня­ют ме­то­ды, на­зы­ва­е­мые не­па­ра­ме­т­ри­че­с­ки­ми. Ме­то­ды эти об­ла­да­ют тем пре­и­му­ще­ст­вом, что при­ме­не­ние их не свя­за­но с оп­ре­де­лен­ной фор­мой рас­пре­де­ле­ния изу­ча­е­мой со­во­куп­но­сти, а так­же и по­то­му, что они не тре­бу­ют боль­шой вы­чи­с­ли­тель­ной ра­бо­ты. Не­па­ра­ме­т­ри­че­с­кие ме­то­ды ана­ли­за мо­ж­но при­ме­нять и в от­но­ше­нии нор­маль­ных рас­пре­де­ле­ний. Не­до­с­та­ток их за­клю­ча­ет­ся в том, что они об­ла­да­ют мень­шей мощ­но­стью по срав­не­нию с ос­таль­ны­ми ме­то­да­ми. Этот не­до­с­та­ток, од­на­ко, ком­пен­си­ру­ет­ся воз­мо­ж­но­стью ис­поль­зо­вать для ана­ли­за боль­шое ко­ли­че­ст­во на­блю­де­ний.

В на­ча­ле рас­смо­т­рим те слу­чаи, ко­г­да при­зна­ки изу­ча­е­мых яв­ле­ний не име­ют ко­ли­че­ст­вен­но­го вы­ра­же­ния, а при­ве­де­ны толь­ко опи­са­тель­но. На­при­мер, в слу­чае, ес­ли тре­бу­ет­ся оце­нить вку­со­вые ка­че­ст­ва пи­ще­вых про­ду­к­тов или ле­кар­ст­вен­ных средств и т. п.

При­мер 1.15 сту­ден­тов-зоо­ло­гов при­шли в кра­е­вед­че­с­кий му­зей и уви­де­ли две кол­лек­ции ба­бо­чек. По­с­ле ос­мо­т­ра их мне­ния раз­де­ли­лись сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Со­з­да­ет­ся впе­чат­ле­ние, что пер­вая кол­лек­ция луч­ше. Для про­вер­ки, на­сколь­ко это впе­чат­ле­ние вер­но, а не яв­ля­ет­ся слу­чай­ным вы­чи­с­ля­ет­ся ста­ти­сти­че­с­кий по­ка­за­тель c2 по фор­му­ле: c2=(а-б-1)²/(а+б), где а - боль­шее чи­с­ло, а б - мень­шее чи­с­ло че­ты­рех­поль­ной таб­ли­цы. В дан­ном слу­чае:

c2=(13-2-1)²/(13+2)=100/15=6.667. К=1.

По­лу­чен­ный ре­зуль­тат при сте­пе­нях сво­бо­ды со­по­с­та­в­ля­ет­ся с таб­ли­ч­ны­ми зна­че­ни­я­ми и срав­не­ние по­ка­зы­ва­ет, что по­доб­ные зна­че­ния мо­гут слу­чай­но по­я­вить­ся с ве­ро­ят­но­стью P=0.01. Сле­до­ва­тель­но, за­клю­че­ние о пре­и­му­ще­ст­ве пер­во­го ва­ри­ан­та не слу­чай­но.

При­мер 2.Два сту­ден­та-бо­та­ни­ка от не­че­го де­лать ре­ши­ли из­ме­рять ли­ней­ка­ми ли­с­то­ч­ки, и в ре­зуль­та­те по­лу­чи­ли:

Из таб­ли­цы вид­но, что ре­зуль­та­ты х1 поч­ти все­гда ни­же чем х2. Ес­ли обо­з­на­чим n - чи­с­ло па­рал­лель­ных на­блю­де­ний, а q - чи­с­ло раз­ли­чий ме­ж­ду па­рал­лель­ны­ми на­блю­де­ни­я­ми с ре­же встре­ча­ю­щим­ся зна­ком, мо­ж­но по спе­ци­аль­ной таб­ли­це оп­ре­де­лить ве­ро­ят­ность по­я­в­ле­ния дан­но­го чи­с­ла q. Ес­ли эта ве­ро­ят­ность не­боль­шая (на­при­мер, мень­ше 0.05 и 0.01) ну­ле­вую ги­по­те­зу (ме­ж­ду па­рал­лель­ны­ми оп­ре­де­ле­ни­я­ми пер­во­го и вто­ро­го сту­ден­та раз­ли­чий не су­ще­ст­ву­ет) мо­ж­но от­бро­сить и счи­тать бо­лее прав­до­по­доб­ным пред­по­ло­же­ние о том, что пер­вый сту­дент си­с­те­ма­ти­че­с­ки по­лу­ча­ет бо­лее ни­з­кие ре­зуль­та­ты (это так на­зы­ва­е­мая аль­тер­на­тив­ная ги­по­те­за). В на­шем при­ме­ре n=10, а q=1. По таб­ли­це, Рq=0.01.

Не­па­ра­ме­т­ри­че­с­кий кри­те­рий Вил­ко­к­со­наяв­ля­ет­ся бо­лее чув­ст­ви­тель­ным для под­твер­жде­ния си­с­те­ма­ти­че­с­ких раз­ли­чий па­рал­лель­ных оп­ре­де­ле­ний. При его при­ме­не­нии не­об­хо­ди­мо най­ти раз­ность ка­ж­до­го из па­рал­лель­ных на­блю­де­ний. За­тем эти раз­но­сти на­до ран­жи­ро­вать по вос­хо­дя­щей гра­да­ции и про­ну­ме­ро­вать в ес­те­ст­вен­ном по­ряд­ке чи­сел, на­чи­ная с еди­ни­цы. Ес­ли у не­сколь­ких раз­но­стей од­на и та же ве­ли­чи­на, они все ну­ме­ру­ют­ся чи­с­лом, рав­ным сред­ней ве­ли­чи­не но­ме­ров, ко­то­ры­ми их сле­ду­ет по­ме­тить. Пе­ред но­ме­ра­ми ста­вят тот же знак, что и у раз­но­стей. Скла­ды­ва­ют от­дель­но но­ме­ра с по­ло­жи­тель­ным зна­ком и но­ме­ра с от­ри­ца­тель­ным зна­ком. Мень­шую из этих двух сумм срав­ни­ва­ют с таб­ли­ч­ным чи­с­лом. Ес­ли сум­ма рав­на или мень­ше таб­ли­ч­но­го чи­с­ла q, при­ни­ма­ют с оп­ре­де­лен­ной ве­ро­ят­но­стью, что раз­ли­чие па­рал­лель­ных оп­ре­де­ле­ний су­ще­ст­вен­но.

Возь­мем пре­ды­ду­щий при­мер. Не об­ра­щая вни­ма­ния на знак, рас­по­ла­га­ем раз­но­сти в вос­хо­дя­щем по­ряд­ке и ну­ме­ру­ем их. В на­шем при­ме­ре пер­вые три из них оди­на­ко­вы по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не 0.1. Они дол­ж­ны по­лу­чить но­ме­ра от 1 до 3. Со­г­ла­с­но ука­зан­но­му вы­ше пра­ви­лу, эти раз­но­сти по­лу­ча­ют один сред­ний но­мер (2). Та­ким же об­ра­зом сле­ду­ю­щие 4 раз­но­стей по­лу­ча­ют сред­ний но­мер (4+5+6+7)/4=5.5, а по­с­лед­ние 3 раз­но­сти име­ют об­щий но­мер (8+9+10)/3=9. За­тем пе­ред по­лу­чен­ны­ми та­ким об­ра­зом но­ме­ра­ми ста­вим ал­ге­б­ра­и­че­с­кий знак. От­кла­ды­ва­ем но­ме­ра с по­ло­жи­тель­ным зна­ком (сум­ма=5.5) и с от­ри­ца­тель­ным зна­ком (сум­ма=49.5). Оце­ни­ва­ем по таб­ли­це, и ви­дим, что при n=10, ито­гу, рав­но­му или мень­ше­му 8 со­от­вет­ст­ву­ет ве­ро­ят­ность 0.05.

Ме­тод не­па­ра­ме­т­ри­че­с­ко­го ана­ли­за, на­зы­ва­е­мый ме­то­дом по­с­ле­до­ва­тель­ных се­рий, при­ме­ня­ют то­г­да, ко­г­да не­об­хо­ди­мо при се­рии по­с­ле­до­ва­тель­ных на­блю­де­ний (на­при­мер, про­во­ди­мых в те­че­ние вре­ме­ни) от­ве­тить на во­п­рос, пре­об­ла­да­ют ли в оп­ре­де­лен­ные пе­ри­о­ды вре­ме­ни бо­лее ни­з­кие ре­зуль­та­ты, а в дру­гие бо­лее вы­со­кие.

При­мер 3. При ис­сле­до­ва­нии то­ч­но­сти ла­бо­ра­тор­ных ап­па­ра­тов и фа­к­то­ров, от ко­то­рых за­ви­сит эта то­ч­ность, ре­ши­ли про­ве­рить, ока­зы­ва­ет ли вли­я­ние на­пря­же­ние элек­т­ри­че­с­ко­го то­ка элек­т­ро­се­ти на чи­с­ло обо­ро­тов цен­т­ри­фу­ги. Для это­го ка­ж­дый час (с 5 ут­ра до 5 ве­че­ра) фи­к­си­ро­ва­ли чи­с­ло обо­ро­тов ис­пы­ту­е­мо­го ап­па­ра­та.

Не­об­хо­ди­мо про­ве­рить, на­сколь­ко в те­че­ние оп­ре­де­лен­но­го ин­тер­ва­ла вре­ме­ни не пре­об­ла­да­ли ни бо­лее ни­з­кие, ни бо­лее вы­со­кие ве­ли­чи­ны. Для это­го пер­во­на­чаль­но рас­пре­де­ля­ют по­лу­чен­ные чи­сло­вые зна­че­ния в вос­хо­дя­щей гра­да­ции и на­хо­дят ме­ди­а­ну. Ме­ди­а­на - ста­ти­сти­че­с­кий по­ка­за­тель, ко­то­рый де­лит ряд рас­по­ло­жен­ных по вос­хо­дя­щей гра­да­ции чи­сел на две рав­ные ча­с­ти. В на­шем при­ме­ре ме­ди­а­на рав­на 5050. За­тем на­хо­дят раз­но­сти кон­крет­ных зна­че­ний и ме­ди­а­ны. При­ни­ма­ют во вни­ма­ние толь­ко зна­ки этих раз­но­стей. При­ни­ма­ют во вни­ма­ние чи­с­ло се­рий с оди­на­ко­вы­ми зна­ка­ми. В на­шем при­ме­ре чи­с­ло та­ких се­рий - 3. (В пер­вой - 5 ми­ну­сов, во вто­рой 5 плю­сов, в треть­ей - 1 ми­нус). За­тем по со­от­вет­ст­ву­ю­щей таб­ли­це с оп­ре­де­лен­ной ве­ро­ят­но­стью на­хо­дят ин­тер­вал, от­но­ся­щий­ся к об­ще­му чи­с­лу се­рий, ко­то­рые при на­блю­де­нии дан­но­го чи­с­ла слу­ча­ев мо­гут по­я­вить­ся в ре­зуль­та­те слу­чай­но­сти. Во взя­том при­ме­ре при n=13 чи­с­ло этих се­рий 3<=R<=12. Ины­ми сло­ва­ми, ес­ли чи­с­ло на­блю­да­е­мых се­рий бы­ло от 3 до 12, то нет ос­но­ва­ний пред­по­ла­гать, что в не­ко­то­рых ин­тер­ва­лах пре­об­ла­да­ют бо­лее ни­з­кие зна­че­ния.

Ме­тод пер­сен­ти­лей, ча­с­то при­ме­ня­ет­ся при вы­ра­бот­ке нор­ма­ти­вов (ан­тро­по­мет­ри­че­с­ких, со­ма­то­мет­ри­че­с­ких, фи­зио­мет­ри­че­с­ких, нер­в­но-пси­хи­че­с­ко­го и пу­бер­тант­но­го раз­ви­тия и т.п.). Пре­ж­де чем рас­смо­т­реть тех­ни­че­с­кую сто­ро­ну ме­то­да, ос­та­но­вим­ся на не­ко­то­рых во­п­ро­сах, свя­зан­ных с по­з­на­ва­тель­ным зна­че­ни­ем, при­ме­не­ни­ем и вы­ра­бот­кой нор­ма­ти­вов.

Ан­тро­по­мет­ри­че­с­кие и дру­гие бли­з­кие к ним ис­сле­до­ва­ния не яв­ля­ют­ся са­мо­це­лью. Они слу­жат ос­но­вой для про­ве­де­ния ин­ди­ви­ду­аль­ной оцен­ки фи­зи­че­с­ко­го со­сто­я­ния от­дель­ных лиц. Оцен­ку эту мо­ж­но про­из­ве­сти на ос­но­ве со­по­с­та­в­ле­ния ре­зуль­та­тов ан­тро­по­мет­ри­че­с­ко­го ос­мо­т­ра с из­ве­ст­ны­ми нор­ма­ти­ва­ми - стан­дар­та­ми.

Од­ним из наи­бо­лее ран­них ме­то­дов ин­ди­ви­ду­аль­ной оцен­ки фи­зи­че­с­ко­го раз­ви­тия яв­ля­ет­ся ме­тод ин­де­к­сов. При нем со­по­с­та­в­ля­ют­ся две или бо­лее ан­тро­по­мет­ри­че­с­кие ве­ли­чи­ны, для че­го ис­хо­дят из су­ще­ст­ву­ю­щей ме­ж­ду ни­ми свя­зи. Та­ко­вы ин­де­к­сы со­от­но­ше­ний ве­са и ро­с­та, ок­ру­ж­но­сти гру­ди, ем­ко­сти лег­ких и т.п. Из­ве­ст­ны де­сят­ки ин­де­к­сов, цель ко­то­рых оха­ра­к­те­ри­зо­вать ту или иную сто­ро­ну фи­зи­че­с­ко­го раз­ви­тия. Не­смо­т­ря на дав­нее при­ме­не­ние (с 30-х гг. ХIХв), этот ме­тод об­ла­да­ет су­ще­ст­вен­ным не­до­с­тат­ком. При со­ста­в­ле­нии раз­ных ин­де­к­сов ис­хо­дят из пред­по­ло­же­ния, что фор­ма те­ла у всех лю­дей оди­на­ко­ва, т.е. раз­ные раз­ме­ры че­ло­ве­че­с­ко­го те­ла у от­дель­ных лю­дей из­ме­ня­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но.

Пер­сен­ти­ли - это по­ка­за­те­ли ти­па сред­них по рас­по­ло­же­нию в ря­ду. Ес­ли дан­ные не сгруп­пи­ро­ва­ны, они оп­ре­де­ля­ют­ся по ме­с­ту на­хо­ж­де­ния по­с­ле то­го, как все дан­ные бу­дут рас­по­ло­же­ны по вос­хо­дя­щей гра­да­ции по ве­ли­чи­не изу­ча­е­мо­го при­зна­ка (пя­ти­де­ся­тый пер­сен­тиль из­ве­с­тен под име­нем ме­ди­а­ны, в пре­ды­ду­щем при­ме­ре бы­ло по­ка­за­но как он вы­чи­с­ля­ет­ся). Ес­ли дан­ные сгруп­пи­ро­ва­ны в рав­но­мер­но от­сто­я­щие друг от дру­га ин­тер­ва­лы, то для по­лу­че­ния со­от­вет­ст­ву­ю­щих пер­сен­ти­лей ис­поль­зу­ет­ся фор­му­ла:

Pi=LPi+(c/f)*e (1),

где Lpi - ни­ж­няя гра­ни­ца ин­тер­ва­ла, в ко­то­ром на­хо­дит­ся со­от­вет­ст­ву­ю­щий пер­сен­тиль;

с - чи­с­ло слу­ча­ев, ко­то­рое тре­бу­ет­ся при­ба­вить к ку­му­ля­тив­но­му ря­ду слу­ча­ев до­пер­сен­тиль­ных ин­тер­ва­лов, что­бы по­лу­чить по­ряд­ко­вое чи­с­ло пер­сен­тиль­но­го слу­чая;

f - чи­с­ло слу­ча­ев пер­сен­тиль­но­го ин­тер­ва­ла;

е - ве­ли­чи­на пер­сен­тиль­но­го ин­тер­ва­ла.

В пра­к­ти­ке обы­ч­но поль­зу­ют­ся толь­ко не­ко­то­ры­ми из пер­сен­ти­лей: P3, P10, P25_, P50, P75_, P90_, P97_. Счи­та­ет­ся, что ес­ли ин­ди­ви­ду­аль­но на­блю­да­е­мый при­знак на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от Р25 до Р75, то ве­ли­чи­на его со­от­вет­ст­ву­ет нор­ме (сле­до­ва­тель­но, в нор­му вхо­дят 50% всех слу­ча­ев), ес­ли он на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от Р10 до Р25 и от Р75 до Р90, то оцен­ка его со­от­вет­ст­вен­но вы­ше или ни­же сред­ней (по 15%). Ес­ли ве­ли­чи­на рас­сма­т­ри­ва­е­мо­го при­зна­ка на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от Р3 до Р10 и Р90 до Р97, оцен­ка бу­дет со­от­вет­ст­вен­но ни­з­кой или вы­со­кой (по 7%). В ос­таль­ных слу­ча­ях - очень ни­з­кая или очень вы­со­кая.

Ес­ли рас­пре­де­ле­ние изу­ча­е­мо­го при­зна­ка от­ли­ча­ет­ся от нор­маль­но­го, то при вы­ра­бот­ке нор­ма­ти­вов сле­ду­ет пред­по­честь ме­тод пер­сен­ти­лей.

При­мер 4. Име­ют­ся сле­ду­ю­щие дан­ные о ис­то­ли­че­с­ком да­в­ле­нии кро­ви у муж­чин в воз­рас­те 25-29лет. Не­об­хо­ди­мо най­ти пер­сен­ти­ли P3, P10, P25_, P50, P75_, P90_, P97 и оп­ре­де­лить ин­тер­ва­лы, в гра­ни­цах ко­то­рых на­хо­дят­ся от­дель­ные нор­ма­тив­ные груп­пы _.

Что­бы вы­пол­нить за­дан­ную за­да­чу, пер­во­на­чаль­но на­хо­дят так на­зы­ва­е­мый на­чет­ный ряд (ку­му­ля­тив­ные ито­ги - тре­тий стол­бец таб­ли­цы). Он по­лу­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом, к чи­с­лу слу­ча­ев пер­во­го ин­тер­ва­ла при­ба­в­ля­ют чи­с­ло слу­ча­ев вто­ро­го, к по­лу­чен­но­му ито­гу при­ба­в­ля­ют чи­с­ло слу­ча­ев тре­тье­го ин­тер­ва­ла и т.д.

За­тем на­хо­дим но­ме­ра со­от­вет­ст­ву­ю­щих пер­сен­ти­лей по фор­му­ле:

Sf/100*Pi, где Sf - сум­ма всех слу­ча­ев (в на­шем при­ме­ре 1000), Pi - со­от­вет­ст­ву­ю­щий пер­сен­тиль. По этой фор­му­ле но­мер тре­тье­го пер­сен­ти­ля бу­дет ра­вен 30=(1000/100)*3, де­ся­то­го пер­сен­ти­ля -100, ос­таль­ных пер­сен­ти­лей со­от­вет­ст­вен­но 250, 500, 750, 900, 970.

По кум­му­ля­тив­ным сум­мам оп­ре­де­ля­ют, в ка­ком ин­тер­ва­ле на­хо­дит­ся ка­ж­дый из тре­бу­ю­щих­ся пер­сен­ти­лей. На­при­мер, пер­сен­тиль №30 на­хо­дит­ся во вто­ром ин­тер­ва­ле 90-100, №100 - в том же ин­тер­ва­ле, №250 - в ин­тер­ва­ле 110-130 и т.д. За­тем при по­мо­щи фор­му­лы 1 на­хо­дят ве­ли­чи­ны ис­ко­мых пер­сен­ти­лей. В на­шем слу­чае: Р3=90+(20/100)*20=94 мм;

Р10=90+(90/100)*20=108 мм; Р25=110+(140/400)*20=117 мм;

Р50=110+(390/400)*20=129.5 мм; Р75=150+(40/100)*20=158 мм;

Р90=190+(20/60)*20=186.67 мм;

Р97=210+(30/30)*20=230 мм;

Сле­до­ва­тель­но, ин­тер­ва­лы нор­ма­ти­вов бу­дут сле­ду­ю­щие:

Следует учитывать, что вырабатывать нормативы следует на большом количестве случаев (100-200 и более). Только тогда имеет смысл вычислять персентили.

Не­до­с­тат­ком ме­то­да пер­сен­ти­лей яв­ля­ет­ся то, что при нем рас­сма­т­ри­ва­ют­ся изо­ли­ро­ван­но, без свя­зи с ос­таль­ны­ми, от­дель­ные при­зна­ки, ха­ра­к­те­ри­зу­ю­щие фи­зи­че­с­кое, нер­в­но-пси­хи­че­с­кое, пу­бер­тант­ное и про­чее раз­ви­тие. В не­ко­то­рых слу­ча­ях это мо­жет при­ве­с­ти к не­пра­виль­ной оцен­ке.

Сле­ду­ю­щий не­па­ра­ме­т­ри­че­с­кий кри­те­рий, при­ме­ня­ет­ся для про­вер­ки раз­ли­чий не­сколь­ких вза­и­мо­свя­зан­ных групп, уча­ст­ву­ю­щих в об­щем экс­пе­ри­мен­те. Для это­го не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать ре­зуль­та­ты ко­ли­че­ст­вен­но. То­г­да по фор­му­ле мо­ж­но вы­чи­с­лить кри­те­рий c2:

c2=12/NS(S+1)*S(Ri)²-3N(S+1), где

N - чи­с­ло слу­ча­ев ка­ж­дой из вза­и­мо­свя­зан­ных групп (это чи­с­ло дол­ж­но быть оди­на­ко­вым);

S - чи­с­ло групп;

Ri - сум­ма ран­го­вых но­ме­ров ка­ж­дой груп­пы;

При по­мо­щи ве­ли­чи­ны c2 и чи­с­ла сте­пе­ней сво­бо­ды (K=S-1) мо­ж­но оп­ре­де­лить ве­ро­ят­ность су­ще­ст­вен­но­го раз­ли­чия ре­зуль­та­тов от­дель­ных вза­и­мо­свя­зан­ных групп. Для это­го поль­зу­ют­ся со­от­вет­ст­ву­ю­щи­ми таб­ли­ца­ми.

При­мер 5.В те­че­ние че­ты­рех по­с­ле­до­ва­тель­ных дней про­ве­ря­лось на­ли­чие ра­дио­ак­тив­но­сти в кро­ви 10 под­о­пыт­ных жи­вот­ных, под­верг­ну­тых в на­ча­ле экс­пе­ри­мен­та воз­дей­ст­вию ра­дио­ак­тив­но­го ве­ще­ст­ва.

Мо­ж­но ли го­во­рить об из­ме­не­нии в ра­дио­ак­тив­но­сти кро­ви под­о­пыт­ных жи­вот­ных с те­че­ни­ем вре­ме­ни. Что­бы от­ве­тить на этот во­п­рос, пер­во­на­чаль­но для ка­ж­до­го жи­вот­но­го оп­ре­де­ля­ют ран­го­вые но­ме­ра по­лу­чен­ных в раз­ные дни ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний. Са­мую ма­лую ве­ли­чи­ну обо­з­на­ча­ют №1, сле­ду­ю­щую по ве­ли­чи­не №2 и т.д. По­лу­ча­ют сле­ду­ю­щую таб­ли­цу.

В рас­сма­т­ри­ва­е­мом при­ме­ре N=10, S=4, P1=36, P2=32, P3=22, P4=10, K=4-1=3.

c2=12/(10*4(4+1))*(362+322+222+102)-3*10*(4+1)=24.24.

По таб­ли­це на­хо­дим, что при К=3 и c2=24.24 ве­ро­ят­ность ну­ле­вой ги­по­те­зы очень ма­ла.