А 2.2. Теория ожидаемой полезности

А 2.1. Графики функций полезности

А 2. Теория ожидаемой полезности.

Теория полезности существует в двух видах: теория предпочтений индивида и отражающая ее функция полезности – это детерминированный вариант, и теория ожидаемой полезности – стохастический вариант, основы которого были заложены Д. Бернулли в 1738 г., раньше, чем детерминированной.

Поведение индивида предполагается рациональным и описывается в простейших ситуациях максимизацией ожидаемого значения функции полезности (ФП), например, дохода.

Будем исходить из упрощенного понятия полезности, в соответствии с которым все побуждения представительного инвестора (ЛПР) описаются одной числовой величиной – доходом, и чем больше доход, тем больше полезность от обладания им. Таким образом, полезность рассматривается как неубывающая функция u(e) с единственной переменной – доходом e, примем, что u(0) = 0.

Теоретически могут существовать три типа возрастания функции u(e): с затухающими, неизменными и нарастающими приростами полезности Δu при движении аргумента по оси дохода с одинаковым шагом Δr.

Выпуклую функцию u(e) называют функцией уклонения от риска, линейную функцию называют нейтральной функцией относительно риска, а вогнутую функцию – функцией стремления к риску.

Для составления более точного представления о форме учета склонности или несклонности инвестора к риску, а также для формулирования предпосылок, на основании которых функция рисковой полезности соответствует рисковым предпочтениям данного лица, и описания возможного метода ее построения пользуются понятием простого шанса, или простой лотереи, под которой понимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны и в сумме равны единице, а также понятием гарантированного эквивалента, под которым понимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны и в сумме равны единице, а также понятием гарантированного эквивалента, под которым понимается такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу.

Простой шанс можно записать так:

,

где V₁ – выигрыш с вероятностью P,

V₂ – выигрыш с вероятностью 1 - P.

Например, если из 1000 лотерейных билетов только один приносит выигрыш 1 тыс. руб., то такая лотерея представляет собой простой шанс вида

.

Если под гарантированным эквивалентом понимать сумму, которую некоторое лицо согласно заплатить за право участия в простой лотерее, то склонность или несклонность этого лица к риску определяется в зависимости от соотношения ожидаемого выигрыша в простую лотерею и гарантированного эквивалента. Пусть данное лицо согласно заплатить за участие в данной лотерее сумму, равную гарантированному эквиваленту B. Если гарантированный эквивалент B больше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е.

PV₁ + (1-P)V₂ < B,

то рассматриваемое лицо склонно к риску.

Если гарантированный эквивалент меньше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е.

PV₁ + (1-P)V₂ > B,

то это лицо не склонно к риску.

Если гарантированный эквивалент для данного лица совпадает с математическим ожиданием выигрыша в простую лотерею, т.е.

PV₁ + (1-P)V₂ = B,

то данное лицо безразлично к риску.