Операторы Гамильтона и Лапласа

Под оператором понимается некоторое правило или последовательность действий, в результате применения которых к функции она преобразуется в новую функцию . Если обозначить оператор буквой L, то его действие на функцию символически записывают следующим образом:

. (35.1)

Примером оператора является так называемый "дифференциальный оператор" . Действие данного оператора на какую-либо функцию сводится к взятию производной этой функции, т. е. . Например, если , то .

В теории поля часто используется оператор Гамильтона, который принято обозначать как (читается – "набла"). Этот дифференциальный оператор имеет следующий вид:

, (35.2)

где – орты координатных осей. В результате действия оператора Гамильтона на функцию получается новая векторная функция , причем проекции вектора в каждой точке с координатами равны частным производным от исходной функции по соответствующей координате:

. (35.3)

Оператор Гамильтона можно представить в виде символического вектора, "проекциями" которого на координатные оси является оператор дифференцирования по соответствующей координате. Такое представление оператора с учетом правил векторной алгебры делает более удобным его использование в математических выкладках.

Пример 1

Умножение вектора на число k сводится, как известно, к умножению проекций этого вектора на k. Тогда выражение (35.3) можно представить как результат умножения "вектора" на "число" f. При этом "умножение" означает подстановку функции f в дифференциальный оператор. Правая часть выражения (35.3) есть градиент функции f, поэтому можно записать

. (35.4)

В частности, если под функцией f понимать потенциал электрического поля, то связь напряженности с потенциалом можно выразить следующим образом:

. (35.5)

Пример 2

Скалярное произведение векторов и равно . С учетом этого дивергенцию вектора можно представить как скалярное произведение векторов и , т. е.

. (35.6)

Пример 3

Векторное произведение векторов выражается определителем третьего порядка

.

Легко показать, что ротор вектора , определяемый выражением (34.3), можно представить в виде векторного произведения и :

. (35.7)

Пример 4

Если оператор Гамильтона "умножить" скалярно сам на себя, то получится новый оператор, называемый оператором Лапласа:

. (35.8)

Используя оператор Лапласа, волновое уравнение (25.2) можно записать в следующем виде:

. (35.9)

Пример 5

Составим двойное векторное произведение оператора Гамильтона и вектора :

.

Из примера 3 следует, что его можно представить как ротор ротора вектора , т. е. . Для двойного векторного произведения справедливо равенство . С учетом этого можно записать

.

Используя рассмотренные выше примеры, получим

,

,

и окончательно можно записать

. (35.10)

Полученное выражение потребуется в дальнейшем для анализа уравнений Максвелла.