Определение ПФ по кривой разгона логарифмическим методом

Лекция 24.09.2012

Статистическая идентификация линейных стационарных объектов

Алгоритм оценки параметров модели

Определение площадей по переходной кривой

Определение параметров модели по площадям

Рассмотрим инверсную ПФ:

Разложим в ряд Тейлора:

где

Коэффициенты названы М.П. Симою площадями.

При известных площадях S легко определить коэффициенты .

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях s получим линейную систему уравнений для определения параметров a и b.

Для определения коэффициентов a и b необходимо число уравнений , где порядок числителя и знаменателя ПФ.

Частный случай:

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию ϕ(t) ( рис.9) определяемую формулой

Определим изображение по Лапласу ϕ(t). Принимая во внимание формулу (6) получим

Разложим в ряд по степеням s в точке s =0:

где

Коэффициенты разложения называются моментами вспомогательной функции ϕ(t) и могут быть вычислены непосредственно по графику ϕ(t).

Установим связь моментов с функцией ϕ(t). Запишем формул у прямого преобразования Лапласа для ϕ(t)

Дифференцируя, получим:

Затем получим:

Как видно из формул моменты могу т быть вычислены по известной функции ϕ(t) . Установим связь между моментами и площадями

Преобразуем выражение для Ф(s) в следующем виде

или

Отсюда следует

Из системы уравнений получим рекуррентные соотношения

1. По кривой разгона определим коэффициент усиления и запаздывание

2. Строим вспомогательную кривую

3. По кривой вычисляем моменты по соотношениям:

4. Определяем площади

5. Определяем коэффициенты и .

К данному классу относятся методы идентификации, оперирующие свойствами объектов в форме корреляционной функции, спектральной плотности и т.д.

Одной и основных форм является уравнение Винера-Хопфа.

откуда определяется .

При этом можно вывести значение интервала наблюдения t в зависимости от различного вида корреляционной функции.

Можно показать, что ПФ W(s) равна

Пример. Пусть в ходе наблюдения получено, что

В данном методе используются известные уравнения связи между входом и выходом, или уравнения свёртки

Метод заключается в аппроксимации переходной характеристики выражением типа

(1)

где

установившееся значение выходной величины объекта, соответствующее частному решению дифференциального уравнения и определяемое вынужденным движением под действием входного сигнала.

Слагаемые в сумме формулы (1) определяют свободное движение и представляют общее решение ДУ объекта, где постоянная интегрирования.

корни характеристического уравнения.

Для определенности пометим, что ПФ имеет один действительный корень, 2 комплексно-сопряженных и 2 кратных корня.

Прологарифмируем выражение

Для устойчивого объекта свободные движения с течением времени стремятся к нулю, причем время переходного процесса будет определяться корнем, имеющим минимальную действительную часть. В нашем случае, например, действительным корнем. Тогда, начиная с некоторого момента времени, слагаемыми в данном соотношении, имеющими большие действительные части, можно пренебречь и приближенно записать:

Данное уравнение является асимптотой при

Ордината асимптоты при t = 0 равна

И исходя из этого

Далее можем исключить одно слагаемое, соответствующее действительному корню

Т.е. метод заключается в том, что мы последовательно отсекаем корни и находим их графически по графику.

Начиная с некоторого момента, слагаемыми, имеющими большие действительные части, можно пренебречь и записать:

Логарифмируя, получим выражение:

Уравнение кривой, проходящей через точки, где имеет вид

В этом случае касательную мы провели иначе. Её мы провели через точки, где синус равен 1 (этот кривой график – это sin вместе с ещё какой-то экспонентой)

Неизвестные находятся как и предыдущем случае, а круговую частоту w и определяем из условия

Тогда можем записать соотношение:

где значения времени, при которых значение переходной характеристики принимает экстремальное значение.