Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Биття

Тема 16. Складання коливань

Послідовний контур

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Мета:Навчитись додавати коливання.

Перш ніж розглядати додавання коливальних рухів, спинимось на способі подачі коливань за допомогою обертального вектора амплітуди.

Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі , під кутом , що дорівнює початковій фазі коливань, відкладемо вектор , модуль якого дорівнює амплітуді коливання (рис. 18). Проекція вектора на вісь дорівнює зміщенню у момент початку відліку часу :

.

Рис. 18.

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі , яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю . За проміжок часу вектор амплітуди повертається на кут . Проекція вектора в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює:

.

За час Т, що дорівнює періоду коливань, вектор амплітуди повертається на кут , а проекція його кінця зробить одне повторне коливання навколо положення рівноваги , отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання.

Нехай точка бере участь у двох гармонічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди (рис. 19). Оскільки вектори і обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і :

і який обертається навколо точки з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуюче коливання описуються рівнянням

,

де – амплітуда результуючого коливання, а – його початкова фаза.

З рис. 19 видно, що

Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Можливі значення лежать у межах

.

Рис. 19.

Розглянемо кілька окремих випадків.

1. .

Тоді і .

2. .

Тоді і .

Якщо частоти коливань і неоднакові, то вектори і будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються биттям.

Нехай амплітуди коливань

, , а частоти дорівнюють , і <<:

Тоді рівняння коливань матимуть вигляд.

, .

Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми косинусів, отримуємо:

.

Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки <<, то множник майже не зміниться, коли множник здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання можна розглядати як гармонічне з частотою й амплітудою

.

Частота зміни вдвічі більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто . Період биття .

Рис. 20.

Суцільні лінії на рис. 20 дають графік результуючого коливання у випадку , і графік амплітуди