Конец воспоминаний

Выполняется n-2 шага (начиная с последней строки, и далее вверх).

На каждом шаге:

Исключаем нулевые элементы в очередной строке (j<i-1),

Пример i-ого шага: работаем со строкой l = n-i+1

1) Рассчитывается величина

2)

3) ( это скаляр )

4) ( это матрица)

5) - (первую Р не транспонируем, т.к. матрица симметричная)

5. QR – разложение матрицы.

Задача представить матрицу А в виде произведения: ,
где Q – ортогональная ( -- верхнетреугольная.

Теорема: Если А – верхняя матрица Хессенберга, то у неё существует

QR – разложение, и оно осуществляется последовательным уничтожением поддиагональных нулей.

Уничтожаем а₂₁ : (в общем случае: а_ij, где j = i+1)

Берём , где

Получаем:

Домножим слева на

Получим:

Алгоритм:

1) Находим

2)

…

n-1)