Решение задач интерполяции и экстраполяции.

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта является наиболее распространенным ме­тодом решения дифференциальных уравнений при постоянном заданном шаге. Его достоинством является высокая точ­ность.

Алгоритм реализации метода Рунге-Кутта для уравнений 1-го порядка (типа (7)) заключается в циклических вычислениях Y i+1 на каждом i+1 шаге по следующим формулам:

K1=h*F(Xi,Yi);

K2=h*F(Xi+h/2,Yi+K1/2);

K3=h*F(Xi+h/2,Yi+K2/2);

K4=h*F(X+h,Y+K3);

Y i+1 = Yi + (K1+2*K2+2*K3+K4) / 6 . (13)

Для дифференциальных уравнений 2-го порядка (типа (9)) метод реализуется с помощью следующих формул:

K1=h*F(Xi; Yi; Yi');

K2=h*F(Xi+h/2; Yi+h/2*(Yi'+K1/4); Yi'+K1/2);

K3=h*F(Xi+h/2; Yi+h/2*(Yi'+K1/4); Yi'+K2/2);

K4=h*F(Xi+h; Yi+h*Yi'+h/2*K3; Yi'+K3);

Y i+1 = Yi+h*[Yi'+(K1+K2+K3)/6];

Y'i+1 = Yi'+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6. (14)

Перед началом вычислений надо задать шаг h и начальные усло­вия (3).

Пусть на интервале [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a £ x_o< x₁ < x₂ <...< x_n £ b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел y_i(i=0, 1,2,...,n) (например, как значения функции в узловых точках). Под задачей интерполяции понимают нахождение многочлена I_n(x) степени не больше n такой, что I_n(x_i)=y_i для 0 £ i £ n.

Интерполяцию обычно применяют тогда, когда относительно f известны только дискретные значения функции y=f(x), и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом I_n(x), причем f(x_i)=I_n(x_i) (i=0,1,2,...,n).

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме.

Форма Лагранжа: I_n(x)=y_i×L_i(x);

L_i(x)=.

Нетрудно видеть, что L_i(x_i)=1, L_i(x_k)=0 при k¹j, и, следовательно, L_n(x_i)=y_i.

Форма Ньютона: I_n(x)= с_iN_i(x), N₀=1,

N_i(x)=(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_i-1) (i=1,2,...,n),

C_i(i)=[x₀x₁x₂...x_i]=[x_ix_i-1x_i-2...x₀],

где [x_ix_i-1x_i-2...x₀]=([x_ix_i-1x_i-2...x₁]-[x_i-1x_i-2...x₀]),

[x_i]=y_i (i=0,1,2,...,n).

Выражение [x₀x₁x₂...x_i] называется разделенной разностью. Для определения многочлена в форме Ньютона применяют разностную схему или схему спуска (см. литературу).

Пример. Нахождение интерполяционного многочлена.

Пусть после опыта получены следующие пары: x₁=4, y₁=1; x₂=6, y₂=1; x₃=8, y₃=1; x₄=10, y₄=1.

Многочлен Ньютона I₃(x)=

=1+1×(x-4)+(x-4)(x-6)+(x-4)(x-6)(x-8)=(2x³-27x²+142x-240).