Випадок однорідної системи

Лінійне рівняння а₁х₁+а₂х₂+…+а_пх_п=b називається однорідним, якщо його вільний член b дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною, або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її вільні члени рівні нулю:

Однорідна система завжди сумісна, бо вона має нульовий розв’язок (0,0,0,…,0). Це видно із теореми 1, оскільки із того, що всі вільні члени рівні нулю, випливає відсутність у відповідній ступінчастій системі рівнянь вигляду 0= b, де b≠0.

Якщо однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r дорівнює кількості невідомих п, то, згідно теореми 2, вона має єдиний розв’язок – нульовий. Якщо ж однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r менша, ніж кількість невідомих п, то множина розв’язків такої системи нескінченна, а, значить, вона має і ненульові розв’язки. Згідно наслідку 2 така система невизначена.

Нехай =f₁ – деякий ненульовий розв’язок однорідної системи. Тоді cf₁=– теж розв’язок цієї системи.

Якщо ж f₂=– якийсь інший ненульовий розв’язок даної системи, то при довільних c₁ і c₂ лінійна комбінація цих розв’язків теж буде розв’язком системи, оскільки якщо

і (і=1,2,…,п),

то і

Таким чином, довільна лінійна комбінація розв’язків однорідної системи теж буде її розв’язком. Важливими є такі лінійно незалежні розв’язки однорідної системи, через які лінійно виражаються всі решта її розв’язки.

Лінійно незалежна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною, якщо кожний розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією цієї лінійно незалежної системи.

Ясно, що якщо кількість рівнянь r в ступінчастому вигляді однорідної системи є меншою кількості невідомих п, то така система рівнянь володіє фундаментальною системою розв’язків. Очевидно також і те, що для отримання фундаментальної системи розв’язків (ФСР) можна надавати n-r вільним невідомим довільних значень і так відшукати скільки завгодно різних фундаментальних систем розв’язків, кожна з яких складалася б із n-r лінійно незалежних розв’язків.

Приклади.

1. Розв’язати систему

Розв’язання:

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду.

Тут перетворення (1) включає: а) до 2-го рядка додано 1-й, помножений на (-2);

б) до 3-го і 4-го рядків додано 1-й, помножений на (-3);

(2) включає: а) до помноженого на 5 3-го рядка додано помножений на (-8) 2-й рядок;

б) від 4-го рядка віднято 2-й рядок.

Після вилучення рівняння вигляду 0=0 задана система лінійних рівнянь звелася до наступної ступінчастої системи:

Ця система, а, значить, і задана система мають єдиний розв’язок.

2. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

.

Ця система несумісна, оскільки містить рівняння 0=14.

3. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

Отримано ступінчасту систему:

звідки, позначивши х₃ та х₄ вільними змінними, матимемо:

Це і є загальний розв’язок даної системи.

Частинні розв’язки: (1,-2,1,0), (та інші.

Викладений метод розв’язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих.

3. Розв’язати однорідну систему і знайти її фундаментальну систему розв’язків.

Отримаємо систему:

Загальний розв’язок:

– вільні невідомі.

Фундаментальну систему отримаємо, якщо вільним невідомим х₃, х₅ надамо значень 1,0 і 0,1 відповідно (визначник матриці відмінний від нуля). Отримаємо:

Розв’язки f₁ та f₂ і утворюють ФСР. Тоді ще один вигляд загального розв’язку системи: f=c₁f₁+c₂f₂, де c₁,c₂ – довільні числа.

б) Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему п лінійних рівнянь з п невідомими, визначник d якої відмінний від нуля. Доведемо, що така система сумісна і визначена, і знайдемо формули для знаходження її єдиного розв’язку.

Припустимо, що наша система сумісна. Нехай – деякий її розв’язок. Тоді виконуються рівності:

Помножимо першу з рівностей на алгебраїчне доповнення А_1j елемента a_1j у визначнику системи, другу – на алгебраїчне доповнення A_2j і т. д., нарешті, останню з рівностей – на A_nj ( j=1, 2,..., n ),потім всі отримані рівності додамо. В результаті дістанемо таку рівність:

В записаній рівності коефіцієнт біля дорівнює визначнику d матриці системи (теорема 6.1), а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю (теорема 6.2). Вираз у правій частині є розкладом визначника

за елементами j-го стовпчика, тобто є визначником d_j, який утворено з визначника d заданої системи рівнянь заміною його j-го стовпчика стовпчиком вільних членів. Тому отримана вище рівність запишеться так:

( j=1, 2,…, n ). Звідси, оскільки d ≠ 0 за умовою, отримаємо

Отже, якщо задана система п лінійних рівнянь з п невідомими сумісна, то вона має єдиний розв’язок

.

Таким чином, задана система або має єдиний розв’язок , або зовсім не має розв’язків. Тому для з’ясування питання про сумісність даної системи досить тільки з’ясувати, чи задовольняє система чисел задану систему рівнянь. Для перевірки підставимо числа в ліву частину і-го рівнянння (і=1, 2,…, п).

(оскільки ).

Отже, множина чисел є розв’язком кожного і-го рівняння (і=1,2,…,п) системи, а, значить, і самої системи.

Таким чином, доведено теорему:

Якщо визначник d системи n лінійних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок: , де – визначник, отриманий із визначника d заміною його j-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Отримані формули розв’язку називають формулами Крамера, а саму теорему – правилом Крамера.

Наслідок. Система n лінійних однорідних рівнянь з п невідомими тоді і тільки тоді має розв’язки, відмінні від нульового, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.

Дійсно, якби визначник однорідної системи лінійних рівнянь був відмінним від нуля, то ця система мала б єдиний нульовий розвязок, що суперечить умові.

Навпаки, якщо визначник системи дорівнює нулю, то ступінчаста матриця цієї системи п рівнянь з п невідомими має хоча б один нульовий рядок, а, значить, кількість рівнянь у відповідній ступінчастій системі менша за число невідомих, звідки випливає існування вільних невідомих і, отже, нескінченної кількості розв’язків, в тому числі і відмінних від нульового.

Правило Крамера пов’язане з громіздкими обчисленнями, але в тих випадках, коли воно застосовне, є можливість виразити всі компоненти розв’язку системи рівнянь через її коефіцієнти і вільні члени.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання.

Оскільки d ¹ 0, то застосуємо правило Крамера:

Отже,

Розв’язок: (-1;0;1;2).

в) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь