Загальні поняття

Рівняння з n невідомими х₁,х₂,…,х_п називається лінійним, якщо його можна подати у вигляді:

а₁х₁+а₂х₂+…+ а_пх_п= b , (1.1)

де а₁,а₂,…,а_п– коефіцієнти, b – вільний член рівняння (дійсні числа).

Сукупність записаних в певному порядку чисел називається розв’язком рівняння (1.1), якщо після заміни в ньому невідомих х_і відповідними числами (і=1,2,…,п), воно перетворюється в правильну рівність.

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з п невідомими:

(1.2)

Розв’язкомсистемилінійних рівнянь називається така сукупність записаних у певному порядку чисел , що кожне з рівнянь системи (1.2) перетворюється на правильну рівність після заміни в ньому невідомих х_і відповідними числами (і=1,2,…,п).

Система лінійних рівнянь, яка має розв’язки, називається сумісною; система, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок, і невизначеною, якщо кількість її розв’язків більше одного.

Системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків збігаються.

Кожне елементарне перетворення будь-якої системи лінійних рівнянь переводить її в еквівалентну систему.

Лінійне рівняння (1.1) називається неоднорідним, якщо його вільний член не дорівнює нулю, і однорідним, якщо вільний член дорівнює нулю.

Аналогічно, система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі її рівняння однорідні.