Метод половинного деления

Отделение корней

Определение 2.8.Отделение корней - процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (2.1) имеет только одно решение.

В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции F(x) и определить отрезки, на которых функция F(x) имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс.

В сомнительных случаях графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения:

1) если непрерывная функция принимает на концах отрезка [a,b] значения разных знаков (т.е. F(a)×F(b) <0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;

2) если функция F(x) к тому же и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [a,b] единственный корень, причем функция F(x) на данном отрезке непрерывна (рис. 2.1).

Разделим отрезок [a,b] пополам точкой с=(a+b)/2. Если F(c)¹0, то возможны два случая:

1) функция F(x) меняет знак на отрезке [a,c];

2) функция F(x) меняет знак на отрезке [c,b].

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.