Пересечение прямой линии и плоскости

Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.

7.2.1. Задание:найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Решение:проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости П₂.)

В первую очередь определяем фронтальную проекцию С₂точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция С₁ искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость П₂плоскость Р проецируется в линию, сов­падающую с фронтальным следом Р₂ , следовательно прямая видима по обе стороны от следа Р₂.

При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции С₁.

7.2.2. Задание:найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью (АВС) (рис. 7.3).

Решение:из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC,занимает общее положение относительно плоскостей про­екции, прямая m является горизонтально проецирующей, m. В первую очередь определяется горизонтальная проекция k₁искомой точки пересечения прямой mс плоскостью .

Для нахождения фронтальной проекции точки К₂ в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2.

Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 1₂-2₂ с фронтальной проекцией прямой mнаходят фронтальную проекцию К₂ искомой точки К.

7.2.3. Задание:найти точку пересечения прямой mобщего положения с плоскостью общего положения Σ(ABC) (рис. 7.4).

Решение:в данной задаче прямая mи плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

· прямую mзаключают в плоскость . В данном случае плоскость является горизонтально проецирующей ();

· находят линию DE пересечения плоскостей Σ(АВС) и ;

· определяют точку Кпересечения прямой mс плоскостью Σ в пересечении прямых DE и т.д.

Видимость прямой mотносительно плоскости (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек.

Метод конкурирующих точек заключается в следующем:

Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы у₁=у_D, координаты z различны (z_D > z₂) , точка D выше точки 1(координата точки Dбольше координаты точки 1). Следовательно, на горизонтальной проекции точка Dвидима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка K₁прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).

Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.