Симплекс-метод с искусственным базисом или М-метод

М-метод заключается в приложении правил симплекс-метода к
М-задаче, которая строится на исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной ЗЛП единичных векторов неотрицательных искусственных переменных. В целевую функцию исходной задачи при решении на максимум добавляется произведение числа (- М) на сумму искусственных переменных, где М – достаточно большое положительное число.

При применении к М-задаче симплекс-метода оценки j будут зависеть от «буквы М». Поскольку М – достаточно большое положительное число, из базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные. В процессе решения М-задачи в симплекс-таблице следует вычеркивать искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы выделены из базиса, то получаем допустимое решение. Если оптимальное решение М-задачи содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная задача не имеет допустимых решения.

Рассмотрим числовой пример М-метода.

Найти максимум целевой функции: max f()=3xl+2х2+х3 при условиях:

2х1+х2=8,

х1+х2+х3=6,

х10, х20, х30

Решение. Матрица условий исходной задачи содержит только один единичный вектор, добавим один искусственный вектор (искусственную неотрицательную переменную y1 в первое ограничение).

Построим М-задачу: найти максимум целевой функции max f() = 3х1 + 2х2 + х3 - Myl при условиях:

2х1+х2+y1=8,

х1+х2+х3=6,

х10, х20, х30, y10.

М-задачу решаем симплекс-методом. Начальный опорный план (0,0,6,8). Решение проводим в симплекс-таблицах (табл. 7).

 

Таблица 7 – Решение задачи ЛП М-методом

 

Номер симплекс-таблицы   сj -М  
ci П Б в0 х1 х2 х3 y1 со
-М y1
х3
- -8М+6 -2М-2 -М-1 -
х1 х3 0,5 0,5    
-    

 

В начальной таблице наименьшее jсоответствует переменной х1 – она вводится в базис, а искусственная переменная y1 из базиса выводится, так как ей отвечает наименьшее симплексное отношение. Столбец, соответствующий х1, из дальнейших симплексных таблиц вычеркивается.

Полученное решение является допустимым планом исходной задачи. Для него все j0, поэтому он оптимальный. Следовательно, получен оптимальный план исходной задачи (4,0,2), максимальное значение целевой функции f (X*) = 14.