Лекция 5

2. Наблюдаемость системы.

Определение. Система, описываемая уравнениями в переменных состояния

,

, (4)

где x(t) – n-вектор, u(t) – r-вектор, y(t) – l-вектор, называется полностью наблюдаемой, если существует такой момент времени, при котором знания измеренных управляемой величины y(t) и управляющего воздействия u(t) достаточно для определения начального состояния системы x(0). Это свойство дает возможность восстанавливать начальное состояние x(0), зная u(t) и y(t) для t>0.

Другое определение наблюдаемости. Состояние x₀0, называется ненаблюдаемым, если при заданных x(0)=x₀ и u(t)=0, , управляемая величина тождественно равна нулю, т.е. y(t)=0, . Система называется наблюдаемой, если в ней отсутствуют ненаблюдаемые состояния.

Теорема Калмана. (О наблюдаемости)

Для полной наблюдаемости системы (4) необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости Q имела ранг, равный n.

Матрица наблюдаемости имеет вид:

.

Условие полной наблюдаемости:

,

где n – порядок системы. Каждый из блоков матрицы Q имеет размерность , следовательно, матрица Q имеет размерность .

Если l=1, то Q – квадратная матрица и условие полной наблюдаемости:

.

Следовательно, система при l=1 полностью наблюдаема, если Q – невырожденная матрица.

Пример. Двойной интегратор с матрицами

.

Как видим, n=2, .

Матрица наблюдаемости:

.

Итак,

,

то есть двойной интегратор является полностью наблюдаемым.

Физический смысл свойства полной наблюдаемости заключается в том, что при этом каждая из переменных состояния оказывает влияние на управляемую величину. Тогда измеряя y(t), можем судить, как изменяется каждая переменная состояния.

Свойство наблюдаемости является внутренним свойством системы и не зависит от способа ее описания.

Замечание. Система, описываемая уравнением (1), называется обнаруживаемой, если ее неуправляемая часть является наблюдаемой. Это свойство позволяет обнаружить, содержит ли объект управления неустойчивую неуправляемую часть.

Система с одним входом и одним выходом является как полностью управляемой, так и полностью наблюдаемой, если ее ПФ не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе.