Лекция 4

Преобразование переменных состояния. Инварианты.

Уравнения движения линейной системы:

, , (1)

путем введения другого вектора состояния

, (2)

связанного с исходным вектором состояния x(t) с помощью невырожденной матрицы (матрицы подобия) Т размерности , можно преобразовать к виду

, , (3)

где

, , . (4)

Переход от (1) к (3) называется преобразованием подобия.

Так как матрица Т невырожденная, то и обратная матрица существует, так что . Уравнения (3) описывают ту же систему, что и исходные уравнения, т. е. преобразованные уравнения эквивалентны исходным. Эквивалентность здесь понимается следующим образом. Если на вход систем, описываемых уравнениями (1) и (3), подать один и тот же сигнал , а начальное состояние второй системы связать с начальным состоянием первой системы соотношением , то на выходе обеих систем получим одинаковый сигнал . Таким образом, выбор вектора состояния неоднозначен и вид матриц А, В, С зависят от этого выбора.

Инварианты. Определенный интерес представляют инварианты – величины и функции, которые не зависят от выбранного вектора состояния, т. е. не зависят от выбора матрицы преобразования Т. К числу инвариантов, в частности, относятся передаточная функция и характеристический многочлен системы.

a. Передаточная функция преобразованной системы равна передаточной функции исходной системы

,

что и нетрудно доказать.

b. Характеристический многочлен преобразованной системы равен характеристическому многочлену исходной системы , так что

.

Итак, характеристический многочлен инвариантен к выбору вектора состояния . Следовательно, собственные числа матрицы равны собственным числам матрицы А, т. е. , .

Отсюда собственные числа, другими словами корни характеристического уравнения системы, инвариантны к выбору вектора состояния. Таким образом, путем подбора матрицы Т нельзя неустойчивую систему превратить в устойчивую, т. е. устойчивость линейной системы не зависит от принятой формы математической модели, а является ее внутренним свойством.

Цель введения новых переменных состояния – получение более простой формы матриц А, В, С, а следовательно и уравнений системы.

Из различных канонических форм в данном курсе будут использоваться управляемая каноническая форма, которую называют также просто управляемой формой, и наблюдаемая каноническая форма.

Пусть система с одним входом и одним выходом описывается уравнениями (1) ,. Тогда путем соответствующего выбора матрицы Т эти уравнения можно привести к управляемой канонической форме, имеющей вид уравнений (3) , при

, .

Здесь , , являются коэффициентами характеристического многочлена системы

.

Преимущество управляемой формы заключается в простоте вычислений передаточной функции и закона управления с обратной связью по состоянию (см. ниже).

Для систем с одним входом и одним выходом к каноническим формам уравнений в переменных состояния можно придти другим путем, не прибегая к помощи матрицы T, а именно используя передаточную функцию системы. Передаточная функция системы с одним входом и одним выходом имеет вид

.

При этом уравнения в переменных состояния, как показано, могут быть представлены в следующих канонических формах:

1. Управляемая каноническая форма:

, .

2. Наблюдаемая каноническая форма:

, .

Такое преобразование применимо к ПФ, описывающей минимальную реализацию (представление) математической модели системы, которую (реализацию) можно найти путем сокращения всех одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе исходной ПФ. Уравнения в переменных состояния, соответствующие ПФ системы, называют реализацией системы.

Минимальная реализация определяется как математическая модель самого низкого порядка из множества моделей, обеспечивающих то же самое преобразование «вход-выход». Возможность перехода к каноническим формам уравнений в переменных состояния тесно связана со свойствами управляемости и наблюдаемости системы.