Зв’язок між дирекційним кутом, істинним та магнітним азимутами ліній

Розглянемо залежність між істинним азимутом лінії OL і дирекціним кутом цієї ж лінії (рис. 3.1):

.

Зональне зближення меридіанів приводиться на топографічних картах.

Залежність між істинним і магнітним азимутами лінії OL виражається такою формулою:

.

Магнітне схилення для данної місцевості можна отримати на най ближчій метеорологічній станції, за топографічною картою або спеціальною картою схилень.

Для отримання залежності між дирекційним кутом і магнітним азимутом прирівнюємо праві частини вище поданих рівнянь:

звідки .

Алгебраїчна різниця називається поправкою напряму. Дані про величини g і d подаються на графіку під південною рамкою карти.

Румби. Обчислення румбів. Для орієнтування ліній використовують також румби. Румб– це горизонтальний гострий кут, який вимірюють від північного або південного напрямку меридіана за рухом годинникової або проти руху годинникової стрілки до заданої лінії в межах від 0 до 90°.

Розглянемо послідовні положення лінії АВ (рис. 3.2): АВ₁ лежить у першій чверті і має румб (північний схід); АВ₂ лежить у другій чверті і має румб (південний схід); АВ₃ лежить у третій чверті і має румб (південний захід); АВ₄ – у четвертій чверті, її румб (північний захід). При вимірюванні або заданні румба обов’язково потрібно вказувати його назву, оскільки без цього неможливо визначити, в якій чверті знаходиться лінія. Наприклад:

= 29°40' Пн.Сх. (лінія лежить у першій чверті);

= 46°25' Пд.Сх. (лінія лежить у другій чверті);

= 30°50' Пд.Зх. (лінія лежить у третій чверті) і т. д.

Румби застосовують переважно при обчисленнях, коли потрібно знайти значення тригонометричних функцій. Тому за кутами , А_і, А_м визначають відповідні румби. Дирекційні кути і румби послідовних положень лінії АВ у чвертях зображено на рис. 3.3, а їх значення подано в таблиці (табл. 3.1).

Таблиця 3.1

Чверть	І	II	III	IV
Значення дирекційного кута	0° 90°	90° 180°	180° 270°	270° 360°
Значення румба	(Пн.Сх.)	(Пд.Сх.)	(Пд.Зх.)	(Пн.Зх.)

Якщо румб обчислюють за істинним і магнітним азимутами, то в табл. 3.1 замість символу потрібно записати відповідно А_і, або А_м. Румб, обчислений за дирекційним кутом, називають осьовим (), румб, обчислений за істинним азимутом, істинним (), румб, обчислений за магнітним азимутом, називають магнітним ().

За даними табл. 3.1 можна отримати формули для обчислення дирекційних кутів, істинного і магнітного азимутів, якщо відомі значення відповідних румбів.

Прямі і обернені дирекційні кути і азимути. У практиці вимірювань використовують прямі й обернені (зворотні) кути. Кути, зміряні у початковій точці, називаються прямими, а кути, зміряні в протилежному напрямі (чи в кінцевій точці лінії), називають оберненими.

Розглянемо залежність між прямим і оберненим дирекцій ними кутами лінії АВ. З рис. 3.4 маємо

.

Для визначення залежності між істинними азимутами ліній АВ і ВА скористаємося рисунком 3.5. Якщо – зближення меридіанів між точками А і В, то

.

2. Пряма і обернена геодезична задача

Пряма геодезична задача. При прокладанні полігонів та вирішенні інших інженерно-геодезичних задач потрібно передати координати з одних точок на інші. Якщо відомо координати однієї точки і потрібно визначити координати іншої, то для вирішення задачі знімають горизонтальну відстань між точками і дирекційний кут. Такий процес називають прямою геодезичною задачею.

Пряма геодезична задача полягає у визначенні координат кінцевої точки лінії за довжиною її горизонтального прокладання, напрямком та координатами початкової точки.

Так, якщо взяти точку А (рис. 3.6) за полюс полярної системи координат, а пряму АС – за полярну вісь, паралельну осі ОХ, то полярними координатами точки В будуть вектор S і кут напрямку . Потрібно обчислити прямокутні координати цієї точки в системі ХО. На рисунку видно, що відрізняється від на величину , а відрізняється від на величину . Різниці координат кінцевої (В) і початкової (А) точок лінії АВ і називають приростами координат. З рисунка видно, що приростами координат лінії АВ є її ортогональні проекції на координатній осі, а координати і можуть бути обчислені за формулами

; (3.1)

Значення приростів визначаються з прямокутника АВС за заданими і , оскільки прирости і є катетами цього прямокутного трикутника:

; (3.2)

Прирости координат мають різні знаки. Знак приростів залежить від знака косинуса і синуса кута напрямку або від назви чверті прямокутної системи координат (табл. 3.1).

Підставивши значення приростів і у рівняння (3.1), одержимо формули для розв’язання прямої геодезичної задачі

; . (3.3)

Обернена геодезична задача. Її вирішують під час прив’язки полігонів до опорних пунктів геодезичної мережі, при будівництві тунелів, метрополітену, інших інженерних споруд.

Обернена геодезична задача полягає у визначенні довжини горизонтального прокладення і кута напрямку лінії за відомими координатами її початкової і кінцевої точок.

Таблиця 3.1

Кути напрямку, град.	Чверть	Знаки приростів координат
0 – 90	I – Пн.Сх.	+	+
90 – 180	II – Пд.Сх.	–	+
180 – 270	III – Пд.Зх.	–	–
270 – 360	IV – Пн.Зх.	+	–

Кут напрямку можна визначити, обчисливши його тангенс за катетами прямокутного трикутника (рис. 3.6)

.

Горизонтальне прокладання , згідно з формулою (3.2), можна визначити за двома формулами

, . (3.4)

Обернену задачу можна розв’язати в такій послідовності: спочатку обчислити горизонтальне прокладання за теоремою Піфагора , а потім обчислити кут напрямку за формулами, згідно з (3.4).