Обчислення площі сфероїдної трапеції

Для обчислення площі формулу (2.50), з врахуванням (2.67), представимо в наступному вигляді

(2.68)

після чого використаємо прийом, аналогічний як при знаходженні інтегралу (2.51), а саме, підінтегральну функцію (2.68) розкладемо в біномінальний ряд:

.

Застосовуючи загальну формулу інтегрування

отримаємо

(2.69)

У формулі (2.69) та - геодезичні координати вершин сфероїдної (знімальної) трапеції.

Якщо задана номенклатура знімальної трапеції, площу якої необхідно обчислити, то перш за все необхідно визначити геодезичні координати і її вершин. Для цього спочатку з допомогою бланкової номенклатури карти знаходять координати вершин трапеції масштабу 1:1000 000, а потім за стандартною процедурою (методом поділу масштабів) геодезичні координати вершин, заданої певним масштабом, трапеції.

Числовий приклад.

Для листа карти масштабу 1: 1 000 000 В₂=52°, В₁=48°, різниця довгот східної і західної рамок карти . Тоді, згідно формули (2.69), для еліпсоїда Красовського площа трапеції дорівнює км².

Коли мова йде про дійсну площу ділянок фізичної поверхні Землі, то її підраховують не за приведеними формулами, а шляхом безпосереднього вимірювання площ на топографічних картах чи планах.

Для обчислення площі всієї поверхні земного еліпсоїда у формулі (2.69) треба прийняти , . Тоді

. (2.70)

На основі цієї формули можна знайти радіус еквівалентної кулі , площа якої дорівнює площі еліпсоїда

звідки

(2.71)

Радіус кулі, рівновеликої за площею поверхні загального земного еліпсоїда WGS-84, дорівнює, згідно формули (2.71) 6370894м. Це значить, що при розв'язуванні деяких задач, в основному, наближеного характеру, коли форму Землі можна прийняти за кулю, її радіус потрібно брати 6371км.

Крім площі трапеції, на практиці приходиться обчислювати і лінійні розміри її рамок в масштабі карти. Рамки трапеції - це відрізки дуг меридіанів і паралелей. Формули для довжин рамок трапецій, у відповідності з формулами (2.63) та (2.67), будуть

, (2.72)

де - знаменник масштабу карти. Позначення сторін трапеції показані на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Стрілку прогину рамки знімальної трапеції розраховують за формулою

(2.73)

Зазначимо, що всі кутові величини, які входять у вищенаведені формули безпосередньо, треба брати в радіанній мірі.