Способы преобразования проекций

9.1 Замена плоскостей проекций

Суть метода заключается в том, что одна из плоскостей проекций заменяется на новую плоскость проекций, при этом последнюю про­водят перпендикулярно к незаменяемой плоскости. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет та­кой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости. При этом положение объекта в пространстве остается неизменным.

Например, если заменить фронтальную плоскость проекций П₂на новую плоскость П₄(рисунок 9.1, а), то последняя должна быть перпен­дикулярна к плоскости П₁ а расстояние от проекции точки a₄ до оси x₁ будет равно расстоянию от проекции точки А₂ до оси х. Новая ось проекции х₁ проводится так, как этого требует решение задачи. В рас­сматриваемом случае она проведена произвольно.

При замене горизонтальной плоскости П₁на новую плоскость П₅(рисунок 9.1, б) сохраняется неизменная координата у;

Рисунок 9.1

При решении конкретной задачи таких замен может быть выпол­нено последовательно несколько. Главные условия этих действий — сохранение ортогонального проецированияв новой системе проекций и величин соответствующих координат.

Пусть дана прямая общего положения АВ (рисунок 9.2). Необходимо преобразовать чертеж отрезка АВ таким образом, чтобы прямая стала проецирующей, т.е спроецировалась на одну из плоскостей проекции в точку. Такое преобразование с заменой плоскостей выполняется в два этапа.

Рисунок 9.2

На первом этапе новую плоскость, например П₄, вводят взамен фронтальной плоскости П₂,параллельно прямой АВ.Новую ось про­екций x₁ проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A₁B₁.Далее проводят от горизонтальной проекции линии связи, пер­пендикулярные к новой оси проекций, и на них откладывают коорди­наты, т.е. расстояние от сторон оси проекций до фронтальных про­екций точек. Новая проекция А₄В₄будет определять натуральную длину отрезка АВ.Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости проекций, в рассматриваемом примере к горизонтальной плоскости П₁ – угол . При замене горизонтальной плоскости проек­ции П₁ на новую угол наклона прямой АВ к плоскости П₂ - .

На втором этапе в системе плоскостей П₁/П₄плоскость проекций П₁заменяют на П₅.При этом ось х₂ проводят перпендикулярно к про­екции А₄В₄.В новой системе плоскостей проекций П₄/П₅прямая за­няла проецирующее положение, т.е. она стала перпендикулярна к плоскости П₅, и на эту плоскость проекция прямой будет точкой, а концы от­резка АВсовпали на проекции А₅В₅.

Метод применяется для определения расстояния между парал­лельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного уг­ла, натуральной величины плоской фигуры и различных ее парамет­ров.

В том случае, если прямые являются прямыми уровня, т.е. парал­лельны одной из плоскостей проекций, первый этап решения опуска­ется и преобразование начинается со второго этапа.

9.2 Вращение вокруг проецирующей оси

Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Сис­тема плоскостей проекций остается неизменной.

Рисунок 9.3 Рисунок 9.4

Например, при вращении точки А вокруг оси i (рисунок 9.3), перпен­дикулярной к П₂, она движется по траектории, которая проецируется на плоскость П₁ в виде окружности (точки А₁ A₁', a₁, a₁'" и т.д.), а на плоскость П₂ - в виде следа горизонтальной плоскости уровня. Все фронтальные проекции точки А (А₂, А₂', А₂" и т.д.) находятся на фронтальном следе горизонтальной плоскости. Точка i₁ представляет собой горизонтальную проекцию оси i, а прямая i₂ — ее фронтальную проекцию.

Если вращать точку А вокруг оси i, перпендикулярной к фрон­тальной плоскости проекций П₂ (рисунок 9.4), то фронтальные проекции А₂, А₂', А₂" и т.д. точки А будут лежать на окружности, плоскость ко­торой перпендикулярна к оси i и горизонтальной плоскости проекции. При этом горизонтальные проекции А₂ А₂', А₂" и т.д. точки А будут расположены на горизонтальном следе этой плоскости.

9.3 Метод плоскопараллельного перемещения

Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при пре­образовании нередко приводит к наложению на исходную новых про­екций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложно­сти. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопа­раллельного перемещения проекций фигуры.

Суть метода заключается в том, что все точки фигуры перемеща­ются в пространстве параллельно некоторой плоскости (например, параллельно какой-либо плоскости проекций). Это означает, что каж­дая точка фигуры перемещается в соответствующей плоскости уров­ня.

Например, прямая общего положения АВ, заданная своими проек­циями A₁B₁ и А₂В₂(рисунок 9.5), перемещается таким образом, чтобы го­ризонтальная проекция АВстала параллельной оси х.

При этом точки А₂ и В₂ фронтальной проекции прямой АВ пере­мещаются в горизонтальных плоскостях уровня и (на фронталь­ной проекции ₂ и ₂ параллельны оси х и займут новое положение А₂ и В₂. При перемещении длина горизонтальной проекции A₁B₁ от­резка АВ остается постоянной, а величина фронтальной проекции А₂ В₂ будет натуральной величиной отрезка, при этом угол а - угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции П₁.

При перемещении прямой АВ во фронтальной плоскости уров­ня можно достичь положения прямой, перпендикулярной к плоско­сти П₁.

Рисунок 9.5

Этот метод применяется для определения натуральной величины отрезка, его угла наклона к плоскостям проекций, расстояния между параллельными прямыми и натуральной величины плоской фигуры.

9.4 Метод вращения вокруг линии уровня

Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь плоскости или пло­ской фигуры. Таким образом, плоскость как бы поворачивается во­круг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, при которой эта плоскость становится параллельной одной из плоско­стей проекций.

Например, повернем плоский угол, образованный пересекающи­мися прямыми а и b (рисунок 9.6).

Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла го­ризонталь h и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и b и вершина К. Все точки вращаются в плоско­стях, перпендикулярных к горизонтали, при этом точки 1 и 2 остаются неподвижными, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизон­тальной проекции К₁точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения h₁. Отрезок K₁O₁- горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Натуральную величину этого радиуса находят ме­тодом построения прямоугольного треугольника.

Рисунок 9.6

На продолжении прямой O₁K₁откладывают гипотенузу O₁K₀и получают совмещенное положение К₀. Соединив точки 1₁ и 2₁ с точ­кой К₀, получают натуральную величину угла при вершине К. Этим способом находится натуральная величина любой плоской фигуры, плоского угла.

9.5 Метод совмещения плоскостей

Этот метод является частным случаем метода вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается линия пересече­ния плоскости, в которой лежит та или иная фигура, с одной из плос­костей проекций. Иначе говоря, осью вращения служит горизонталь­ный или фронтальный след плоскости. При этом каждая точка, при­надлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость , заданную своими следами и , не­обходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁(рисунок 9.7).

Рисунок 9.7

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе плоскости произвольную точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1, которая лежит на оси х. Далее из точки 1₁проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендику­лярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точ­ки 1 — точку 1₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом . Точка 1₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости . Через точку 1₀ проводят новый фронтальный след ₀ плоскости . Следы ₁ и ₀ ха­рактеризуют новое (совмещенное) положение плоскости .

9.6 Вопросы для самопроверки

1 В чем состоит сущность преобразования ортогональных проек­ций способом замены плоскостей проекций?

2 Сколько замен плоскостей проекций и в какой последователь­ности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок прямой обще­го положения в отрезок прямой частного положения?

3 Сколько замен плоскостей проекций и в какой последователь­ности необходимо выполнить, чтобы определить натуральную вели­чину плоской фигуры?

4 В чем заключается способ вращения вокруг проецирующей оси?

5 В каких плоскостях перемещается точка, вращаемая вокруг оси, перпендикулярной к плоскостям П₁ и П₂?

6 Сущность способа плоскопараллельного перемещения.

7 Что представляет собой преобразование чертежа способом вра­щения вокруг линии уровня?

8 В чем заключается преобразование чертежа способом совмеще­ния?

9.7 Примеры решения задач

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанны­ми методами.

9.7.1Задание:определить натуральную величину треугольника общего положения ABC,заданного проекциями вершин A₁B₁C₁и А₂В₂С₂(рисунок 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к П_1.

Рисунок 9.8

Рисунок 9.9

1) Решение методом замены плоскостей проекций(рисунок 9.9).

Плоскость треугольника проецируется в натуральную величину в том случае, если она будет в пространстве параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невоз­можно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей про­екций получают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плос­костей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоско­стей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). За­тем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции тре­угольника A₁B₁C₁ проводят ось x₁ новой системы плоскостей проек­ций П₁/П₄перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонта­ли h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к но­вой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают ко­ординаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.При соединении новых проекций А₄, B₄, С₄полу­чают прямую линию, в которую спроецировалась плоскость тре­угольника ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ - угол . На чертеже это угол между осью x₁ и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅,парал­лельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x₂проводят парал­лельно С₄А₄В₄на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П₄/П₅.Полученный треугольник А₅В₅С₅и есть искомая натураль­ная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рисунок 9.10).

Рисунок 9.10

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют враще­ние так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плос­костей проекций. Для этого на фронтальной проекции чертежа прово­дят горизонталь h₂ через точку А₂. Затем строят горизонтальную про­екцию h₁ горизонтали h через точки A₁ и 1₁ Через точку 1 проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендику­лярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ прово­дят горизонтальные плоскости уровня ₂ и ₂. Вершина С принадле­жит плоскости П₁ поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁.На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'₁ займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции точка А₂ перемещается по следу плоскости ₂ до пересечения с линией связи, проведенной через точку a'₁. На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости ₂, а вершина С - по оси х. Соединив новое положение всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'₂В'₂С'₂,сливающуюся в линию. Этим достига­ют проецирующего положения треугольника ABC. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П₁ - .

На втором этапе проводят ось i` через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'<sub>2</sub> = /'<sub>2</sub>, а горизонтальная проекция i'<sub>1</sub> пройдет через проекцию С'<sub>1</sub>. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'<sub>2</sub> и В'<sub>1</sub>, вокруг i`₂ = С'₂ до совмещения с осью х, при этом горизонтальные проекции B'₁ и A'₁ будут перемещаться в горизонтально проецирующихся плоскостях уровня и P₁ и займут новое положение В"₁, и А"₁ вершина С оста­нется на месте. Соединив новые точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

3 Решение методом плоскопараллельного перемещения

Задача решается в два этапа (рисунок 9.11).. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А₂1₂// х, а горизонтальная — A₁1₁). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П₁. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П₁, А принадлежит плоскости , а В — плоскости А.

Рисунок 9.11

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h₁ треугольника не станет перпендикулярна к фрон­тальной плоскости проекций П₂. Для этого на произвольном расстоя­нии от оси х вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A₁B₁C₁с условием, что П₂, а значит х. При этом вер­шины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение - А'₂В'₂С'₂.Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. пер­пендикулярного к плоскости П₂.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину тре­угольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А'₂В'₂С'₂располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П₁. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости , Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А'₁ В'₁ С'₁. От но­вого положения фронтальной проекции А"₂В"₂С"₂ проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (,T₁,P₁), и получают точки А"₁ В"₁ C"₁. Соединив эти точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

4 Решение методом вращения вокруг линии уровня (рисунок 9.12).

Рисунок 9.12

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плос­кость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг го­ризонтали, в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят го­ризонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁. Пря­мая A₁1₁ является горизонтальной проекцией h₁ горизонтали h. Во­круг горизонтали будут вращаться точки В и С. Для определения ра­диуса вращения точки С на горизонтальной проекции проводят перпендикуляр C₁O₁ A₁1₁ точка О₁, является центром вращения точ­ки С.

Для определения натуральной величины радиуса вращения строят прямоугольный треугольник, в котором O₁C₁ - один из катетов. Вто­рой катет - разность координат отрезка О₂С₂, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O₁C₀ - нату­ральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O₁C₁ откладывают |R_Bp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С₀. Вторая вер­шина В₀ получается пересечением луча C₀1₁ и перпендикуляра к горизонтальной проекции h₁ проведенного через точку b₁.

Треугольник A₁B₀C₀ есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC.

5) Решение методом совмещения (рисунок 9.13).

Рисунок 9.13

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости , которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь и находят го­ризонтальный след этой фронтали – N₁. По условию задачи верши­на С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П₁. Тогда горизонтальный след плоскости проводят через точки n₁ и C₁. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересе­чения с осью х, находят точку схода следов . Учитывая свойство, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след ₂ плоскости проводят через точку парал­лельно фронтали .

Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необ­ходимо построить совмещенное положение плоскости с горизон­тальной плоскостью проекций П₁. Для этого через вершину А прово­дят горизонталь h₁. На фронтальном следе ₂ фиксируют точку 2₂. Ее горизонтальная проекция - точка 2₁. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости . Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 2₀, проводят из 2₁ перпендикуляр к горизонтальному следу , а из центра дугу ок­ружности радиусом до пересечения с направлением перпендику­ляра. Соединив с 2₀, получают совмещенное положение фронталь­ного следа - Далее через точку 2_о проводят горизонталь h_a в совме­щенном положении. На этой горизонтали находят точку А₀, проведя перпендикуляр из точки a₁ к горизонтальному следу .По такой же схеме строят совмещенное положение точки В₀. Со­вмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проек­цией С₁ т.е. . Соединив построенные точки, получают тре­угольник А₀В₀С₀ - это и есть натуральная величина треугольника ABC.