Вычитание множеств. Дополнение множества

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называется разностью и определяют следующим образом.

Определение. Разностью множества А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначают разность А \ В. Тогда по определению: А \ В = {x÷ x Î A, x Ï B}.

С помощью кругов Эйлера разность изобразится следующим образом:

 
 


А В Видно, что А \ В = А \ (А ∩ В).

В школьном курсе математики чаще всего приходиться выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность А \ В называется дополнением множества В до множества А и обозначают В′А = А \ В.

С помощью кругов Эйлера дополнение изображают:

 

А

 

ВввВВ

 

 

Определение. Пусть ВÌА. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Отсюда следует: В′А = {x÷ x ЄA и x ÏB}.

 

Определение.Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А и обозначают .

=U \ А.

 
 

 


Справедливо следующее выражение: А \ В = А ∩

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах. Если элементы множеств А и В перечислены и В Ì А, то чтобы найти дополнение достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Например, если А={1,2,3,4,5}, B={2,4}, то В′А={1,3,5}.

В случае когда указаны характеристические свойства элементов множества А и В и известно, что ВÌ А, то множество В′А задают так же с помощью характеристического свойства, общий вид которого “хÎА и хÏВ”. Так, если А –множество четных чисел, а В– множество чисел, кратных 4, то В′А – множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Что касается объединения множеств и вычитания, то их считают равноправными.

Вычитание множеств обладает рядом свойств, т.е. для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

1. (А \ В)\ С = (А \ С) \ В,

2. (A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C),

3. (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C),

4. A \ (B È C) = (A \ B) ∩ (A \ C),

5. A \ (B ∩ C) = (A \ B) È (A \ C).