Лекція №6

Алгебричні критерії стійкості. Ці критерії було розроб­лено стосовно безперервних систем. Вони дають змогу визначити, чи всі корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площини коренів. Застосувати ці критерії безпосеред­ньо для дослідження імпульсних систем неможливо. Харак­теристичне рівняння імпульсної системи можна подати у вигляді

(1)

або

(2)

Для рівняння (1) умовою стійкості є розміщення всіх коренів усередині кола одиничного радіуса в площині коренів z, а не в лівій півплощині. Для рівняння (2) умовою стійкості залишається роз­міщення всіх коренів у лівій півплощині коренів . Проте критерії стійкості застосовуються лише до характеристичних рівнянь у вигля­ді поліномів, а рівняння (2) є трансцендентним. Щоб застосува­ти відомі алгебричні критерії стійкості безперервних систем для до­слідження імпульсних систем, необхідно виконати w-перетворення. Внаслідок цього перетворення утворюється поліноміальне рівняння

(3)

Зоною стійкості для його коренів буде ліва півплощина коренів w (рис. 1, в). До цього рівняння можна застосувати алгебричні критерії стійкості – Рауса-Гурвіца, оскільки умова стійкості для рівняння (3) збігається з умовами стійкості безперервних систем.

Приклад. Визначити за критерієм Гурвіца стійкість системи, ха­рактеристичне рівняння якої

.

Виконаємо w-перетвореиня:

Перетворене характеристичне рівняння має вигляд

Згідно з критерієм Гурвіца система стійка, оскільки і

Частотні критерії стійкості. Оцінка стійкості ім­пульсних систем можлива також за частотними критеріями, подіб­ними до критеріїв Михайлова і Найквіста для безперервних систем.

Аналог критерію Михайлова. Під час дослідження стійкості за критерієм Михайлова використовується характеристичне рівняння замкнутої системи і виконується підстановка . Через те, що , після цієї підстановки рівняння (1) матиме вигляд

(5)

де

Змінюючи частоту від 0 до , за формулою (5) на комплекс­ній площині будуємо криву – аналог годографа вектора Михайлова. За виглядом цього годографа робимо висновок про стійкість системи. Формулювання цього критерію таке:

імпульсна САК стійка, якщо годограф вектора при змінюванні частоти від 0 до починається на додатній дійсній півосі при і обходить у додатному напрямі (проти годинникової стрілки) по­слідовно 2І квадрантів, ніде не перетворюючись у нуль (тут І – порядок характеристичного рівняння.

На відміну від безперервних систем годограф не прямує до нескінченності, а закінчується на дійсній осі, крім того, годограф проходить удвічі більше квадрантів. Якщо годограф проходить через початок координат, то система знаходиться на межі стійкості.

На рис. 2 наведені годографи вектора для стійкої (крива 1) і нестійкої (крива 2) систем другого порядку.

Якщо годограф проходить через початок координат, то система перебуває на межі стійкості.

Враховуючи, що при , а при , можна сформулювати такі необхідні умови стійкості:

1) для системи непарного порядку ;

2) для системи парного порядку .

При дослідженні стійкості, перш ніж будувати годограф вектора , доцільно перевірити, чи виконуються ці досить прості умови. Якщо вони не виконуються, то система нестійка і годограф можна не будувати.

Аналог критерію Найквіста. Подібно до безперервних систем для дослідження стійкості замкнутих імпульсних систем можна викорис­товувати АФХ розімкнутих систем.

Аналог критерію Найквіста стосовно імпульсних систем форму­люється так:

1) якщо система стійка в розімкнутому стані або нейтральна, тобто має нульові полюси , то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при змінюванні відносної частоти від 0 до не охоплювала точку з координатами і не проходила через неї;

2) якщо система нестійка в розімкнутому стані, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкнутої системи при змінюванні частоти від 0 до охоплювала точку з координатами разів, де – кількість коренів характеристичного рівняння безперервної частини розімкнутої системи, що мають додатну дійсну частину, або, що те саме, кількість коренів характе­ристичного рівняння розімкнутої імпульсної системи, модулі яких більші за оди­ницю.

Як бачимо, формулювання критерію Найквіста для імпульсних систем залишається таким самим, як і для безперервних. Відмін­ність полягає в тому, що АФХ імпульсних систем при закін­чуються на дійсній осі, а не стягуються в початок координат.

Особливістю також є залежність АФХ імпульсної системи від пе­ріоду квантування імпульсного елемента.

Введення імпульсного елемента в деяких випадках може бути за­собом стабілізації нестійких замкнутих безперервних систем. Період квантування у цьому разі рекомендується вибирати з умови

(6)

де –частота, за якої АФХ безперервної частини розімкнутої сис­теми перетинає додатну уявну піввісь.

Відповідно до критерію Найквіста стійкість замкнутої системи можна визначати не тільки за АФХ розімкнутої системи, а й за лога­рифмічними характеристиками – амплітудною і фазовою . Для цього попередньо треба виконати w-перетворення і перейти до псевдочастоти .

Стосовно логарифмічних характеристик критерій Найквіста формулюється так:

1) якщо система стійка або нейтральна в розімкнутому стані, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб на частоті зрізу , що відповідає , фаза за модулем була менша ;

2) якщо система нестійка в розімкнутому стані і характеристичне рівняння має коренів , модулі яких перевищують одиницю, то для стійкості замкнутої систе­ми необхідно і достатньо, щоб при кількість перетинів фазовою характе­ристикою рівня знизу вгору була в разів більшою за кількість перетинів у протилежному напрямі.

Приклад. Дослідити стійкість замкнутої імпульсної САК за до­помогою логарифмічних характеристик і визначити запаси стійкості за фазою й амплітудою, якщо передаточна функція системи в розімкну­тому стані має вигляд

Розв'язання. Полюси передаточної функції розімкнутої системи ; ; тому розімкнута система нейтральна і для до­слідження стійкості замкнутої системи застосовується перше форму­лювання критерію Найквіста в логарифмічній формі.

Для побудови логарифмічних характеристик спочатку подамо чисельник передавальної функції W(z) у вигляді добутку елементарних співмножників

,

а потім виконаємо w-перетворення, зробивши відому підстановку z = (1 + w)/(1 – w). Після спрощення дістанемо

.

Подамо передавальну функцію W(w) у вигляді, зручному для побудови логарифмічних характеристик:

.

Виконаємо підстановку

і побудуємо ЛАХ L() та ЛФХ j().

Методика L() така сама, як і методика побудови асимптотичних ЛАХ неперервних систем. Низькочастотна (початкова) частина ЛАХ проходить через точку з координатами з нахилом –20 дБ/дек, тому що передавальна функція має співмножник . Логарифми частот сполучення:

Фазова характеристика розраховується за формулою

.

Побудовані ЛАХ і ЛФХ зображені на рис.

Система регулювання на псевдочастоті зрізу має запас стійкості за фазою Dj = 64^о. Запас стійкості за амплітудою DL = 11дБ.