ЛЕКЦІЯ 2 «Метод знаходження кривої підгонки».

Анотація

Основні види кривих підгонки. Коефіцієнт детермінації та інші способи оцінки моделей. EX POST як імітація процесу прогнозування.

2.1 Основні види кривих підгонки

Метод підгонки входить до числа найвідоміших методів прогнозування. Він полягає в тому, щоб знайти криву або групу кривих, які з достатньою точністю описували б початкову інформацію. Розрізняють наступні види кривих підгонки: лінійна, параболічна, поліноміальна 3 ступеню, логарифмічна, експоненційна, ступенева, гіперболічна, логістична, S-образна. Існують і інші види кривих, але перелічені криві є найбільш поширеними і вживаними.

Рівняння прямої підгонки називається лінійним рівнянням регресії У по X (у прогнозуванні оцінене значення змінної прийнято позначати з кришкою вгорі: ) (див. рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Лінія регресії

Рівняння параболи має наступний вигляд . На рис. 2.2 зображений графік параболи.

Рисунок 2.2 – Крива підгонки – парабола

Рівняння третього ступеня має вигляд (див. рис. 2.3):

Рисунок 2.3 – Крива підгонки – графік многочлена третього ступеня

Рівняння логарифмічної функції має вигляд: (див. рис. 2.4).

Рисунок 2.4 – Крива підгонки – графік логарифмічної функції

Рівняння експоненціальної кривої має вигляд: = b₁ exp(b₂t).

Ми нагадаємо, що exp(z)= e^z, де е ≈ 2,718. Зважаючи на важливість цього виду рівнянь для прогнозування, ми зупинимося на ньому докладніше. Розглянемо темп зростання у момент t.

.

Ми бачимо, що темпи зростання для експоненціальної кривої на даному інтервалі постійні. Оскільки e^z - 1 ≈ z при малих значеннях z, то b₂ × 100% приблизно рівно темпам приросту (див. рис. 2.5).

Рисунок 2.5 – Крива підгонки – експоненціальна крива

Рівняння ступеневої функції виглядає таким чином: = b₁ (t^b2) (див. рис. 2.6).

Рисунок 2.6 – Крива підгонки – графік ступеневої функції

Рівняння гіперболи має вигляд: (див. рис. 2.7).

Рисунок 2.7 – Крива підгонки – гіпербола

Рівняння S-образної кривої має вигляд: . Як видно з цього рівняння, S-образна крива виходить шляхом послідовного застосування гіперболічної і експоненціальної функцій (див. рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Крива підгонки – S-образна крива

Рівняння логістичної кривої має вигляд (див. рис. 2.9).

Рисунок 2.9 – Крива підгонки – логістична крива

2.2 Коефіцієнт детермінації та інші способи оцінки моделей

Середньо квадратична помилка (mean squared error, MSE) розраховується за формулою:

,

де: n – кількість спостережень;

е – залишок, який визначається, як ;

Yi – фактичне значення показника;

– теоретичне значення показника.

Коефіцієнт детермінації характеризує ступінь близькості змодельованих значень в їх сукупності до початкових даних. Коефіцієнт детермінації визначається виразом і позначається як R². Отже, коефіцієнт детермінації:

де: – середнє значення показника.

З визначення виходить, що R²≤ 1. Рівність R² = 1 можливо тоді і тільки тоді, коли всі залишки рівні нулю, тобто процес в точності описується моделлю; проте на практиці цього майже ніколи не трапляється. З (2.1) витікає, що для одного і того ж набору даних коефіцієнт детермінації R² буде ближчим до одиниці у моделі з меншою середньоквадратичною помилкою. Таким чином, R² дійсно характеризує ступінь близькості змодельованих даних в їх сукупності до початкових даних. З формули (2.1) також витікає, що значення коефіцієнта детермінації залежить від дисперсії початкових даних. Наприклад, моделі для двох різних рядів даних можуть мати одні і ті ж значення залишків е₁, е₂, ..., е_n, але ряд даних з великим значенням дисперсії матиме і більше значення коефіцієнта детермінації.

Важливо пам'ятати, що R² – це всього лише позначення і, взагалі кажучи, може бути негативним числом.

У разі лінійної регресії невід’ємне число називається коефіцієнтом множинної кореляції і використовується набагато рідше, ніж коефіцієнт детермінації.

R² є часткою від ділення дисперсії змодельованих значень на дисперсію початкових. У ідеальному випадку, коли R² = 1, Var( )= Var(Y). Всі крапки (Х₁, Y₁), (X₂, Y₂), ..., (Х_n, Y_n) лежать на одній і тій же прямій тоді і тільки тоді, коли |р(Х, У)| = 1. р може приймати негативні значення, а R, за визначенням, повинен бути завжди більше або рівний нулю.

Коефіцієнт детермінації, безумовно, є важливим критерієм при виборі моделі. Якщо модель погано описує початкові дані, від неї не можна чекати добрих результатів при прогнозуванні. На жаль, зворотне невірне.

При порівнянні різних моделей крім коефіцієнта детермінації R² використовуються також дві інші характеристики – MAD і МАРЕ.

Вираз називається середнім абсолютним відхиленням (mean absolute deviation, MAD).

Вираз називається середньою абсолютною помилкою у відсотках (mean absolute percent error, МАРЕ).

На відміну від R², і MAD, і МАРЕ мають простий наочний сенс, що важливе для їх практичного застосування.

MAD і МАРЕ виявляються корисними при порівнянні залишків окремих значень моделі.

2.3 Верифікація прогнозів. EX POST як імітація процесу прогнозування

Статистичні прогнози ґрунтуються на гіпотезах про стабільність значень величини, що прогнозується; закону її розподілу; взаємозв'язків з іншими величинами тощо. Основний інструмент прогнозування — екстраполяція.

Суть прогнозної екстраполяції полягає в поширенні закономірностей, зв'язків і відношень, виявлених в t-му періоді, за його межі.

Залежно від гіпотез щодо механізму формування і подальшого розвитку процесу використовуються різні методи прогнозної екстраполяції. Їх можна об'єднати в дві групи:

- екстраполяція закономірностей динаміки — тренду і коливань;

- екстраполяція причинно-наслідкового механізму формування процесу — факторне прогнозування.

Ці методи різняться не процедурою розрахунків прогнозу, а способом описування об'єкта моделювання. Екстраполяція закономірностей розвитку ґрунтується на вивченні його передісторії, виявленні загальних і усталених тенденцій, траєкторій зміни в часі. Абстрагуючись від причин формування процесу, закономірності його розвитку розглядають як функцію часу. Інформаційною базою прогнозування слугують одномірні динамічні ряди.

При багатофакторному прогнозуванні процес розглядається як функція певної множини факторів, вплив яких аналізується одночасно або з деяким запізненням. Інформаційною базою виступає система взаємозв'язаних динамічних рядів. Оскільки фактори включаються в модель у явному вигляді, то особливого значення набуває апріорний, теоретичний аналіз структури взаємозв'язків.

Важливим етапом статистичного прогнозування є верифікація прогнозів, тобто оцінювання їх точності та обґрунтованості. Ha етапі верифікації використовують сукупність критеріїв, способів і процедур, які дають можливість оцінити якість прогнозу.

Найбільш поширене ретроспективне оцінювання прогнозу, тобто оцінювання прогнозу для минулого часу (ex-post прогноз). Процедура перевірки така. Динамічний ряд поділяється на дві частини: перша — для t= 1,2,3, ...,p — називається ретроспекцією (передісторією), друга — для t=p + 1, p + 2, p + 3, ..., p +(n —р) — прогнозним періодом.

За даними ретроспекції моделюється закономірність динаміки і на основі моделі розраховується прогноз Y_p+v, де v — період упередження. Ретроспекція послідовно змінюється, відповідно змінюється прогнозний період, що унаочнює рис. 2.10 (для v = 1).

Рис. 2.10 – Схема ретроспективної перевірки точності прогнозу для v = 1

Оскільки фактичні значення прогнозного періоду відомі, то можна визначити похибку прогнозу як різницю фактичного у_t і прогнозного Y_t рівнів: e_t = y_t – Y_t. Всього буде n —р похибок. Узагальнюючою оцінкою точності прогнозу слугує середня похибка:

абсолютна , квадратична .

Для порівняння точності прогнозів, визначених за різними моделями, використовують похибку апроксимації (%):

Якщо результат оцінювання точності прогнозу задовольняє визначені критерії точності, скажімо, 10%, то прогнозна модель вважається прийнятною і рекомендується для практичного використання. Очевидно, що похибка прогнозу залежить від довжини ретроспекції та горизонту прогнозування. Оптимальним співвідношенням між ними вважається 3 : 1.

При оцінюванні та порівнянні точності прогнозів використовують також коефіцієнт розбіжності Г. Тейла, який дорівнює нулю за відсутності похибок прогнозу і не має верхньої межі:

Існуючі методи верифікації прогнозів у більшості своїй ґрунтуються на статистичних процедурах, які зводяться до побудови довірчих меж прогнозу, себто до побудови інтервальних прогнозів.

Помилки ex post прогнозів можна оцінювати таким же чином, як ми оцінювали залишки моделі. Тобто ми можемо розглянути відповідні значення MSE, MAD і МАРE.

Для оцінки помилок ex post прогнозів використовується також число, яке називається коефіцієнтом нерівності Тейла (Theil's inequality coefficient):

де T – число ex post прогнозів.

Еx post – один з найнадійніших методів при виборі моделі прогнозування. При цьому особливу увагу слід звертати на останні значення моделі. Стабільність коефіцієнтів моделі, разом з іншими характеристиками, які вказують на достатньо високу точність (R², MAD і МАРE), говорить на користь вибраної моделі.

Перш ніж приступити безпосередньо до прогнозування майбутніх значень, прогнозист повинен спочатку зрозуміти ті кількісні закономірності (або хоча б частина з них), які лежать в основі бізнес-процесу. Єдине, що він має в розпорядженні, це початкові дані. Звідси витікає, що на початку прогнозист повинен створити модель, яка достатньо добре описувала б саме початкові дані. Різниця між істинним і прогнозованим значеннями називається помилкою прогнозу.

Тут потрібно відзначити, що прогнозовані значення необов'язково повинні відноситися до майбутнього. Прогнозувати можна будь-які величини, що не входять в набір початкових даних. Подібні прогнозовані значення часто використовуються, коли необхідно відновити дані, відсутні через які-небудь причини.

Ідея ex post прогнозування. З цією метою початкові дані розбиваються на дві групи, так щоб в другій групі знаходилися пізніші дані, що становлять звично приблизно 15% всієї інформації. Ці дані будуть потім використовуватися для тестування. При невеликому об'ємі початкових даних в другій групі можна розглядати до 30% початкової інформації.

Але спочатку ми повинні задати горизонт прогнозування. При цьому кожного разу ми порівнюватимемо набуті значення з наявною інформацією. У цьому якраз і полягає головна перевага ex post прогнозування. При звичному прогнозуванні у нас такої можливості немає. Припустимо, що нас цікавить прогноз на один квартал вперед і ми хочемо протестувати лінійну модель. Нижче ми приводимо докладний алгоритм ex post прогнозування.

Алгоритм ex post прогнозування:

1. Знаходимо лінію регресії L для перших 13 значень.

2. З рівняння L визначаємо прогноз на 14-й квартал.

3. Порівнюємо одержаний прогноз з наявною інформацією за 14-й квартал. Знаходимо помилку.

4. Повторюємо пункти 1-3 послідовно для перших 14, 15 і 16 значень.

В результаті ми одержуємо таблицю, що містить ex post прогнози і відповідні помилки для останніх чотирьох кварталів.

В процесі ex post прогнозування, додаючи нові дані, ми кожного разу одержували інше рівняння. Це приклад рекурсивного ex post прогнозування, на відміну від нерекурсивного, при якому рівняння, одержане за даними першої групи, залишається незмінним.

ЛЕКЦІЯ 3 «Метод екстраполяції тенденції по одному часовому ряду»

Анотація

Поняття тенденції, способи встановлення наявності тенденції. Прості методи екстраполяції тенденції: екстраполяція на основі аналітичних показників рядів динаміки, на основі плинної середньої та екстраполяція на основі індексу сезонності.

3.1 Поняття тенденції, способи встановлення наявності тенденції

Під тенденцією розуміють деякі загальні напрямки розвитку процесу (явища), довгострокову закономірність.

При прогнозуванні методами екстраполяції виходять з інерційності явищ (процесів), що досліджуються і прогнозуються.

Ступінь інерційності залежить від розміру і масштабу процесу, що вивчається. На мікрорівні вплив окремого фактора може миттєво змінити ситуацію, в той час, коли на макрорівні, через дії багатьох факторів, які здійснюють часом протилежний один одно­му вплив, інерційність зберігається у більшій мірі.

При значній інерційності економічних процесів (явищ), що досліджуються, можна з достатнім ступенем імовірності сподіватися, що закономірності, які виникли в «передісторії», будуть з незначними змінами діяти і в прогнозованому періоді.

Основу екстраполяційних методів прогнозування складають динамічні ряди. Є ряд способів перевірки гіпотези про існування тенденції у динамічному ряду.

Один з найпростіших методів базується на порівнянні середніх рівнів ряду. Для цього динамічний ряд розбивається на дві, приблизно рівні частини за кількістю елементів. Кожна частина розглядається умовно як самостійна сукупність. Якщо динамічний ряд має певну тенденцію, то середні, які обчислені для кожної сукупності, повинні суттєво розрізнятися між собою. Якщо ж розходження будуть незначними, тобто випадковими, то динамічний ряд тенденції не має.

Для оцінки істотності відмінності між середніми значеннями двох динамічних рядів використовується t-критерій Стьюдента.

Розходження буде істотним, якщо розрахункове значення t-критеріяСтьюдента(t_p) буде не менше його табличного значення (t_T).

Розрахункове значення t-критерія обчислюється таким чином:

(3.1)

де середнє значення рівня відповідно до першої і другої частин ряду, розрахованих для інтервальних динамічних рядів як середнє арифметичне:

(3.2)

де n₁,n₂ - кількість елементів відповідно першої і другої частин ряду.

- стандартне відхилення.

- дисперсія відповідно першій і другій частин ряду.

(3.3)

3.2 Прості методи екстраполяції тенденції

Прості методи прогнозування на основі екстраполяції тенденції використовуються в управлінні виробництвом, оскільки мають ряд переваг.

До переваг простих методів слід віднести:

- достатньо простий апарат дослідження, що привертає до нього широке коло спеціалістів;

- можливість використання для виконання розрахунків портативних і нескладних обчислювальних засобів;

- швидкість виконання розрахунків в оперативному режимі;

- наявність відносно невеликого масиву інформації.

Нижче наведені прості методи екстраполяції тенденції на основі застосування аналітичних показників динамічних рядів, плинної середньої та індексу сезонності.

3.2.1. Екстраполяція на основі аналітичних показників рядів динаміки

Динамічним рядом (рядом динаміки) називається послідовність показників, які характеризують зміну явища (процесу, об'єкта) у часі. Окремі спостереження динамічного ряду називаються рівня­ми.

За часом, відображеним у динамічних рядах, вони поділяються на моментні й інтервальні.

В моментних рядах динаміки рівні виражають величину явища на відповідну дату, наприклад, залишки готової продукції на пер­ше число кожного місяця, вартість основних фондів на початок, чи кінець року та ін.

В інтервальних рядах рівні виражають розміри явищ за про­міжок часу, наприклад, випуск продукції за місяць, квартал, рік.

При побудові динамічних рядів слід в першу чергу приділити увагу на порівнянність рівнів ряду. Це значить, що усі рівні повинні виражатися в однакових одиницях виміру, розраховуватися по єдиній методології, включати єдине коло об'єктів.

Позначимо:

у_l — початкове значення рівня динамічного ряду;

у_п — кінцеве значення рівня динамічного ряду;

у_i — умовно прийнятий (i-й) рівень динамічного ряду;

п — кількість елементів динамічного ряду.

Наведемо основні аналітичні показники динамічного ряду, які використовуються у прогнозуванні:

а) абсолютний приріст:

1) ланцюговий

(3.4)

2) базисний

(3.5)

б) середній абсолютний приріст

(3.6)

в) коефіцієнт росту:

1) ланцюговий

(3.7)

2) базисний

(3.8)

3) за весь період

(3.9)

г) коефіцієнт приросту

K_np= k_p- 1; (3.10)

д) середній коефіцієнт росту

(3.11)

е) середній коефіцієнт приросту

(3.12)

ж) абсолютний розмір 1% приросту:

1) ланцюговий

(3.13)

2) за весь період

(3.14)

з) коефіцієнт випередження (відставання)

(3.15)

Добуток ланцюгових коефіцієнтів росту дорівнює базисному коефіцієнту росту за весь період, тобто

(3.16)

що може бути доведено таким чином.

Нехай маємо динамічний ряд за 5 років та рівень показника за базисний рік, що передує рокам п'ятирічки (у₀). Добуток ланцюго­вих коефіцієнтів росту складе

тобто підтверджується залежність (3.16)

На основі наведених аналітичних показників, які широко застосовуються для оцінки динамічних рядів, можна вивести залежності, що можуть бути використані для побудови прогнозів:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

де — тут і далі таким чином позначаються прогнозні значення показника.

Т — величина горизонту прогнозу (Т = 1; 2; 3 ...)

Практичне застосування зазначених залежностей покажемо на прикладах.

Приклад 1.

В таблиці 3.1 наведені дані про середнє споживання кондитерських виробів на одну людину по області за рік. Використовуючи рівняння (3.18; 3.20), побудуємо прогноз споживання кондитерських виробів на наступну п'ятирічку.

Таблиця 3.1 – Середньорічне споживання кондитерських виробів по області

У табл. 3.1 наведені дані по двох п'ятирічках та базисному року.

Остаточно про якість прогнозу можна судити лише після того, як подія відбулася. Щоб оцінити надійність застосованого методу, використовуються так званий метод «прогноз екс-пост». Такий підхід застосовується і для інших кількісних методів прогнозування.

Використовуючи дані перших шести років — базисний рік та роки першої п'ятирічки, розрахуємо відповідно:

Середній абсолютний приріст

Середньорічний коефіцієнт росту

На основі залежності (3.18) складемо прогноз споживання кон­дитерських виробів на період .

Результати розрахунків зведені в таблицю та порівняні з фактичними даними.

Складемо прогноз споживання кондитерських виробів на основі формули (3.20)

Результати прогнозу порівняні із фактичними даними та оцінена якість прогнозу (таблиця 3.3)

Таблиця 3.2 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середнього абсолютного приросту

Таблиця 3.3 – Оцінка якості прогнозу, складеного на основі середньорічного коефіцієнта росту

Порівнюючи результати прогнозів, поданих в таблиці 3.2 та таблиці 3.3, можна зробити висновок про те, що використання середньорічного коефіцієнта росту забезпечує більш високу точність прогнозу, про що свідчать відхилення за всі роки і в цілому за п'ятиріччя.

Для складання прогнозу за межі наявних даних, тобто на пер­спективу, розрахуємо середньорічний коефіцієнт росту на основі другої п'ятирічки з використанням базисного періоду

Прогноз споживання кондитерських виробів на наступне п'ятиріччя складе:

Прогноз споживання кондитерських виробів складено з урахуванням зберігання тенденцій, які склалися в «передісторії».

Суттєвим недоліком показників середнього абсолютного приросту та середнього коефіцієнта росту є те, що значення їх цілком залежить тільки від крайніх рівнів динамічного ряду. Проміжні значення, які багато в чому, а іноді і в вирішальній мірі визначають тенденцію змін показників, по суті в розрахунках не беруть участі. Зазначений недолік багато в чому усувається шляхом аналітичного вирівнювання рядів динаміки, що буде розглянуто у наступному параграфі.

Приклад 2.

В управлінні бурякоцукровим виробництвом дуже важлива об'єктивна оцінка очікуваних урожайності та цукристості буряка, на основі яких визначається валовий збір буряка та обсяг виготовленого цукру. Першочергове значення мають короткострокові прогнози показників, що орієнтовані на поточний виробничий рік, який охоплює приблизно період вересень-січень.

В основу розрахунків середньої урожайності буряка та середньої цукристості заготовленого буряка покладені значення вказа­них показників за станом на перше жовтня.

Для одержання названих показників у агропромисловому ком­плексі щодекадно робляться оцінки маси кореня (з 1 липня по 1 жовтня) та цукристості буряка (з 20 липня по 1 жовтня). Задача полягає у тому, щоб на основі одержаних даних, оцінити значення Цих показників за станом на 1 жовтня.

З множини методів, які рекомендовані для оцінки значення вка­заних показників на 1 жовтня, найбільш простий та доступний — це використання значень приросту буряка за декади. Для розрахунку приросту використовуються середні значення маси кореня на кожну декаду, яка визначається за формулою:

(3.21)

де — середнє значення маси кореня на і-у декаду;

P_ij— маса кореня в i-у декаду j-го року;

s_j — площа посіву j-го року;

m_j— густота насадження коренеплодів по стану на 20 серпня j-го року.

Прирости розраховуються за формулою (3.4), тобто:

В таблиці 3.4 наведені дані про абсолютні прирости маси кореня, які розраховані на основі середніх значень маси кореня за 10 років.

Таблиця 3.4 – Абсолютні прирости маси кореня (г) по Волинському облбурякоцукропромі

Отримавши дані про масу кореня станом на 1.07, можна, використовуючи показники таблиці 3.4, визначити очікуване значення названого показника станом на 1.10

(3.22)

Якщо поступає інформація за наступні декади, то розрахунки виконуються таким чином:

і т.д.

Припустимо, за станом на 1.07 поточного року маса кореня ста­новила 25г. Тоді очікувана маса кореня за станом на 1.10 становить

В таблиці 3.5 наведені результати послідовних прогнозів на ос­нові застосування абсолютних приростів.

Таблиця 3.5 – Результати прогнозу маси кореня по Волинському облбурякоцукропромі

Примітка:Над рискою таблиці 3.5 подані прогнозовані значення, під рискою — фактичні.

Результати прогнозу достатньо точні. Враховуючи, що фактичне значення маси кореня за станом на 1.10 дорівнює 376 г, то розходження по той, чи інший бік становило від 376 - 382 = -6 г, або 1,6%, до 376 - 367 = 9 г, або 2,4%.

За таким ж самим методом прогнозується цукристість буряка.

Слід відмітити, що прогнозування найважливіших показників буряко-цукрового виробництва було реалізовано на ЕОМ і функціонувало у реальному режимі часу для Волинського облбурякоцукропрому і Укрбурякоцукропрому протягом тривалого часу.

3.2.2. Екстраполяція на основі плинної середньої

Метод плинної середньої базується на використанні залежності:

(3.23)

де п — кількість років «передісторії».

Коефіцієнт l_i розраховується за формулою:

(3.24)

де і — число, яке означає послідовний натуральний ряд «передісторії», починаючи з останнього;

b — визначається за таблицею, поданій нижче:

Визначимо значення l для п'ятирічки.

Згідно з даними наведеної вище таблиці при п=5, b=0,333.

Звідси:

Якщо підставити розраховані значення l у формулу (3.23), отримаємо:

Особливістю методу плинної середньої є те, що рівень показників, який знаходиться ближче до прогнозованого періоду, чинить більший вплив на значення прогнозованих показників, порівняно з віддаленими періодами. Досягається це завдяки коефіцієнтуl.

Прогнозні значення показників розраховуються наступним чином:

На основі даних другої п'ятирічки, включаючи також базисний період (таблиця 3.1) складемо прогноз споживання кондитерських виробів на основі методу плинної середньої. Розрахуємо абсолютні прирости:

Виходячи з наведених вище залежностей

Порівняємо розрахунки прогнозу споживання кондитерських виробів на одну людину по області, що розраховані на основі середньорічного коефіцієнту росту і плинної середньої (таблиця 3.6).

Таблиця 3.6 — Прогноз споживання кондитерських виробів на наступну п'ятирічку, розрахований двома методами, кг.

Дані таблиці 3.6 свідчать про те, що прогноз, складений на основі середньорічних коефіцієнтів росту, за результатами дещо випереджає прогноз, складений за методом плинної середньої.

Який прогноз виявиться точнішим, зробити висновки заздалегідь важко.

Разом з тим перевага методу плинної середньої в тому, що на значення прогнозованих показників впливають в тій чи іншій мірі усі дані «передісторії», в той час, коли значення середньорічного коефіцієнта росту визначається тільки крайніми величинами динамічного ряду.

Наявність альтернативних варіантів прогнозу дозволяє спеціалістам на основі досвіду, знання, інтуїції відібрати найбільш прийнятний.

3.2.3. Екстраполяція на основі індексу сезонності

В процесі господарської діяльності окремі галузі промисловості, торгівля, побут стикаються з циклічними коливаннями, які викликані сезонним характером виробництва та споживання товарів і послуг.

Сезонні коливання — це більш чи менш сталі внутрішньорічні коливання в ряді динаміки, що обумовлені специфічними умовами виробництва і споживання даного товару чи послуг. Для організації виробництва і реалізації продукції сезонних виробництв надзвичайно важливо вивчити тенденцію сезонних коливань, що склалися, і розробити прогноз на найближчу перспективу, головним чином, на наступний рік.

Для вивчення сезонних коливань використовуються спеціальні показники, які називаються індексами сезонності, а сукупність їх утворює сезонну хвилю.

За даними, які характеризують обсяг реалізації продукції хлібозаводами об'єднання (таблиця 3.7), розрахуємо індекси сезонності, побудуємо сезонну хвилю і прогноз обсягу реалізації продукції на окремі місяці наступного року.

Індекс сезонності визначається за формулою:

(3.25)

Таблиця 3.7 – Обсяг реалізації хлібобулочних виробів (тис.т)

де —середнє значення показника за прийнятий проміжок часу (у нашому прикладі середня величина за кожний місяць, гр.7);

—середнє значення показника за весь період;

к —кількість років (к = 1, 2, 3, 4);

n — кількість місяців (п = 1, 2, 3, ..., 12)

Розраховані для даних таблиці 3.7 індекси сезонності подані у графі 8, а їх ряд створює сезонну хвилю.

Індекс сезонності для складання прогнозу використовується таким чином.

Припустимо, що на наступний рік об'єднання передбачає ре­алізувати 98 тис. т. хлібобулочних виробів. Для того, щоб сформувати помісячний план реалізації продукції можна використати наступну залежність:

(3.26)

де — очікуваний місячний об'єм реалізації продукції (i = 1, 2, 12);

— очікуваний річний обсяг реалізації продукції;

і_с— індекс сезонності;

п — кількість періодів (п = 12).

Результати розрахунків наведені в графі 9 таблиці 3.7. Застосування індексу не обмежується тільки дослідженням сезонного характеру виробництва і споживання продукції. В декількох галузях промисловості коливання виробництва продукції пов'язані з особливостями технології, характером сировини та іншими факторами. Так, у цукровій промисловості встановлена добова норма переробки цукрового буряка на початку виробничого сезону і в кінці його, як правило, не виконується, а в середині вироб­ництва є умови для перевиконання. Це пов'язано, головним чином, з технологічними властивостями сировини — цукрового буряка.

Звідси важлива задача визначення таких добових норм переробки цукрового буряка по декадах на наступний сезон, щоб в середньому була забезпечена норма переробки не менше 100%. Норма переробки в цілому на сезон визначається як добуток добової потужності на встановлений коефіцієнт використання потужності. В таблиці 3.8 наведені дані про процент виконання добової норми переробки буряка (відношення фактичної добової переробки буряка до встановленої норми на сезон) і порядок розрахунку прогнозованого (планового) завантаження цукрового заводу.

Позначимо:

N — добова потужність заводу;

Р_т — добова продуктивність заводу, яка встановлена на друге півріччя.

— розрахункове значення виконання плану добової переробки буряка в середньому за друге півріччя, яке визначається за формулою:

(3.26)

де — обсяг переробленого буряка в i-ї декаді j-го року.

Таблиця 3.8 – Прогноз добової переробки цукрового буряка по декадах на наступний сезон

В таблиці 3.8 подана в підсумковому рядку графи 3. Початкові дані для розрахунку граф 5 і 6 є: добова потужність — N = 1220т.;

Установлений коефіцієнт використання потужності на друге півріччя — К = 0,92.

Отже, планова добова продуктивність на друге півріччя складає Р₀= KN = 0,92 - 1220 = 1100 т.

Дані таблиці 3.8 свідчать про те, що норма переробки буряка заводом не виконувалась. В графі 6 наведені розрахункові, з використанням індексу сезонності, значення добової переробки цукрового буряка по декадах, які дозволяють забезпечити ритмічну роботу заводу і виконання норми загрузки заводу в цілому на друге півріччя.

ЛЕКЦІЯ 4 «Метод згладжування і сезонне прогнозування»

Анотація

Наївна модель. Способи усунення тренда. Моделі згладжування для часових рядів, що не мають тренда: модель ковзного середнього, модель експоненційно зваженого ковзного середнього, комбінована модель. Визначення початкових значень моделі. Моделі згладжування з трендом: модель Холта, модель Брауна. Сезонні моделі.

4.1 Наївна модель

Зараз ми розглянемо найпростішу модель, яка коли-небудь використовувалася при прогнозуванні, – так звану «наївну модель». Значення моделі задаються наступною формулою:

(4.1)

Ідея наївної моделі (4.1) полягає в припущенні, що дане значення у момент часу t приблизно рівне попередньому значенню.

Стовпець значень Y_t виходить з початкових даних просто зрушенням на один рядок вниз. На рис. 4.1 представлений графік цієї наївної моделі, який виходить відповідно з початкового графіка шляхом зрушення на одиницю управо. Прогноз для всіх кварталів, починаючи з 18-го, один і той же і рівний останньому значенню ряду даних: 248.

Рисунок 4.1 – Графік наївної моделі

Наївна модель застосовується в тих випадках, коли потрібно зробити короткостроковий прогноз, за умови, що не очікується великих змін в характері процесу. Важливість цієї моделі для прогнозування в першу чергу полягає у тому, що разом з лінійною моделлю і моделлю постійного зростання наївна модель служить мірилом для визначення ефективності будь-якої іншої моделі. На практиці це означає, що, перш ніж придбати яку-небудь нову модель, треба порівняти її характеристики з їх аналогами.

4.2 Способи усунення тренда

Якщо уважно подивитися на графік наївної моделі (рис. 4.1), то помітите, що крім зрушення на одиницю управо він в більшій своїй частині (у 5 випадках з 16) розташований нижче за початкову криву. Це пов'язано з тим, що наївна модель (див. формулу 4.1) не припускає існування у процесу лінійного тренда. Тобто наївна модель виявиться неефективною, якщо значення коефіцієнта b₂ в лінійному рівнянні регресії значно відрізнятиметься від нуля. Існує досить багато інших моделей, набагато складніших, ніж наївна, які також припускають, що процес не має тренда. Як показник відсутності тренда у ряду Y_iіноді береться коефіцієнт k:

(4.2)

Залишки лінійного рівняння регресії звичайно служать прикладом процесу, що не має лінійного тренда. Як правило, в бізнесі ми маємо справу з процесами, що мають тренд. Для того, щоб в цьому випадку можна було застосувати модель, призначену для процесів, що не мають тренда, можна поступити одним з наступних двох способів.

Спосіб 1. Розглянемо різниці або частки початкових даних. Таким чином, якщо є ряд даних Y₁, Y₂, ..., Y_n, то розглядається ряд: Δ2_{, ...,}Δn, де Δt = Y_t – Y_t-1, або ряд р2, ..., рn,де

(4.3)

Насправді прогнозисти звичайно поступають трохи інакше. До результатного ряду даних застосовується оператор ln. Toбто розглядається ряд: lnY₁, …, lnY_n, після чого до нього застосовується оператор приросту Δ. При значеннях р_i, близьких до одиниці, можна нехтувати другим членом в розкладанні Тейлора і вважати, що ln(p_t) ≈ p_t - 1.

Так як ln(p_t) = ln(1) + (ln(p_t))¢(p_t-1) + (ln(p_t))¢¢/2!*(p_t-1)²≈ 0 + 1/p_t*(p_t-1) = 0 + 1*(p_t-1) =p_t -1

Оператори Δ_i і р_i називають операторами початкового ряду. При цьому абсолютно не гарантовано, що ряди даних, одержані шляхом застосування операторів Δ_i або р_i, не матимуть тренда (У такому разі іноді застосовують повторно оператор Δ).

На рис. 4.2 представлене графічне зображення ряду р2,..., рn.

Рисунок 4.2 – Темпи зростання об'єму продажів

Якщо менеджер вважає, що можна нехтувати зміною в змодельованих квартальних темпах зростання, то він може розглядати р2, ..., рn як ряд, що не має тренда, і застосувати до нього наївну або будь-яку іншу модель, призначену для рядів, що не мають тренда.

Спосіб 2 полягає в розгляді залишків лінійної регресії і є одним з найчастіше використовуваних методів усунення тренда. Його називають методом детрендалізації.

Якщо коефіцієнт b2 лінійного рівняння регресії для ряду еiмає нулі в перших чотирьох десяткових розрядах, то він може вважатися рівним нулю. Тепер можна побудувати модель для ряду без тренда для залишків е_і, потім знайти відповідне змодельоване значення e_k при k > 17, і додати його до відповідного значення тренда. Оскільки наївна модель припускає, що e_t-1 ≈ e_t, то її слід застосовувати у тому випадку, коли коефіцієнт кореляції r(e_t-1, e_t ) при t = 2, ..., n, позитивний і значно відрізняється від нуля. У такому разі говорять, що в моделі лінійної регресії є позитивна автокореляція першого порядку. Існує спеціальний тест (тестДарбіна-Уотсона) на наявність автокореляції першого порядку.

Прогноз визначається шляхом додавання змодельованої помилки е₁₉ до відповідного значення тренда.

4.3 Моделі згладжування для часових рядів, що не мають тренда:модель ковзного середнього, модель експоненційно зваженого ковзного середнього, комбінована модель

Основна задача прогнозиста – знайти модель або групу моделей, які адекватно описували б процес. Прогнози, у свою чергу, будуються вже виходячи з цих моделей. Моделі згладжування застосовуються, коли потрібно визначити загальний хід процесу, проігнорувавши при цьому зміни, викликані випадковими чинниками. У цьому вони схожі з моделями підгонки, з тією лише різницею, що у них більше значення надається останнім даним. Ця властивість моделі називається адаптивною. Інша важлива відмінність моделей згладжування від кривих підгонки полягає у тому, що вони задаються алгоритмами, а не аналітично, тобто функцією від часу. З рекурсивності моделей згладжування виходить одна їх дуже важлива властивість: значення моделі співпадають з відповідними expost прогнозами. Для цього достатньо пригадати, що expost прогнози також визначаються виключно виходячи з попередніх даних.

Значення моделі ковзного середнього (movingaveragemodel) визначаються наступною формулою:

(4.4)

Іншими словами, Y_t дорівнює середньому k попередніх значень. Число k називається порядком ковзного середнього. Середнє значення завжди знаходиться між мінімальним і максимальним значеннями ( тому модель можна ефективно застосовувати тільки до ряду даних, що не має лінійного тренда. На рис. 4.3 показана модель для ряду р_t, при k = 5.

Рисунок 4.3 – Модель ковзного середнього при k = 5

Ми бачимо, що графік моделі більш гладкий, ніж початковий. При усереднюванні частково зникли флуктуації початкових даних, викликані випадковими чинниками. На графіку моделі відсутні перші п'ять значень. Це викликано тим, що для моментів часу t = 2, 3, 4, 5, 6 у формулі (4.4) значення р_t не визначені.

Прогноз не враховує можливих коливань, або, як то кажуть, обурень, що мають місце в процесі. Отже цей прогноз слід розуміти як деяке усереднене значення можливих майбутніх значень.

Щоб одержати прогноз, який враховував би такі обурення, потрібно навчитися визначати їх яким-небудь іншим способом. Прикладом такого підходу є знаходження сезонних компонент.

Для того, щоб знайти прогнози на більш видалені в майбутнє квартали, відсутні члени у формулі (4.4) замінюють на відповідні одержані раніше прогнози.

Модель експоненційно зваженого ковзного середнього (exponentiallyweightedmovingaverage (EWMA) model) є природним узагальненням моделі ковзного середнього. Вона будується на наступних двох припущеннях.

Кожне нове значення визначається сукупністю всіх попередніх значень.

Вплив попередніх даних слабшає в геометричній прогресії, у міру того як вони відстають далі за часом.

Якщо виходити з вищесказаного, то модель EWMA повинна визначатися формулою:

(4.5)

Проте при визначенні коефіцієнтів при Y_t-1 потрібно також, щоб їх сума дорівнювала одиниці. В цьому випадку вони називаються вагами. Оскільки сума коефіцієнтів при Y_t-1 в правій частині формули приблизно дорівнює ( ): , при достатньо великих n, то модель EWMA визначається наступною формулою:

(4.6)

Тепер сума коефіцієнтів: . З формули (4.6) можна зробити дуже важливий висновок про пам'ять моделі EWMA, тобто про вплив попередніх даних на значення моделі. Чим ближче α до нуля, тим швидше модель «забуває» минулі дані і тим більшу вагу має сама остання інформація. З другого боку, коли α наближається до одиниці, то вага при Y_i розподілені більш рівномірно і, отже, графік моделі виглядатиме більш згладженим.

Неважко бачити, що формула (4.6) еквівалентна наступній формулі:

(4.7)

Формула (4.7) більш зручна для обчислень, в порівнянні з формулою (4.6), тому для визначення значень моделі краще використовувати саме її. Число (1- α) називається константою згладжування. Коли а = 0, формула (4.7) співпадає з формулою (4.1) для наївної моделі. В правій частині формули (4.7) присутній член аY_t-1. Це означає, що обчислення значень моделі носить рекурсивний характер. З (4.7) також витікає, що модель EWMA слід застосовувати тільки для рядів, що не мають тренда.

Розглянемо модель EWMA на прикладі залишків лінійної регресії. Її можна записати в наступному вигляді:

(4.8)

Для того, щоб модель можна було застосувати, потрібно задати значення а і перше значення моделі.

Потрібно відзначити один дуже істотний недолік моделей згладжування. На зміни в ході процесу вони реагують із запізненням. Пояснимо це з допомогою діаграми 4.4.

Рисунок 4.4 – Модель EWMA

Спадання даних відбувалося аж до 3-го кварталу. Починаючи з 4-го кварталу картина починає поступово мінятися у бік зростання. Невеликий відступ вниз відбувся в 5-у кварталі, а потім аж до 8-го кварталу графік йшов вгору. Подивимося, як на це реагувала наша модель. Вона продовжувала йти вниз аж до 6-го кварталу. Але після того, як її графік почав нарешті зростати, це зростання продовжувалося аж до 13-го кварталу, тобто до того моменту, коли графік початкових даних різко пішов вниз. Пояснити цей факт можна характером формули (4.6), в якій значення моделі визначаються в основному декількома попередніми даними.

Як вже говорилося раніше, вид графіка моделі залежить від величини а. При порівнянні двох діаграм, зображених на рис. 4.5, неважко помітити, що графік моделі при більшому значенні (а = 0,8) має велику згладжену, тоді як графік знизу (при а = 0,2) слідує за початковими даними набагато щільніше. Також значно відрізняються і прогнозовані значення.

Рисунок 4.5 – Модель EWMA ( 1 = 0)

Модель експоненціального згладжування (exponentialsmoothingmodel) задається формулою:

(4.9)

Вираз (4.9) відрізняється від формули (4.7) моделі EWMA лише заміною Y_t-1 на Y_t в правій частині. Насправді модель експоненціального згладжування виходить з моделі EWMA шляхом зсуву початкових даних на одиницю часу. Модель експоненціального згладжування дає прогнози, мало відмінні від тих, що одержані за допомогою моделі EWMA.

Модель подвійного експоненційного згладжування (doubleexponentialsmoothingmodel) виходить за допомогою подвійного застосування моделі експоненційного згладжування. Тобто спочатку модель експоненційного згладжування застосовується до початкових даних, а потім – до змодельованих значень, одержаних на першому етапі. При цьому при повторному застосуванні моделі можна узяти інше значення а.

Для вибору відповідного значення а прогнозист звичайно керується або інтуїцією, або попереднім досвідом. Більш строгий підхід полягає в наступному. Оскільки кожна експоненціальна модель визначається своїм значенням а, то можна розглядати всю сукупність експоненціальних моделей для даного ряду даних. Таким чином, а вважається параметром моделі. Тепер можна знайти оптимальне значення а, що мінімізує суму квадратів залишків, тобто поступимо точно так, як ми робили в першому розділі для знаходження параметрів кривої підгонки.

Тут важливо пам'ятати, що оскільки оптимальне а визначається на основі всього ряду даних, то відповідні expost значення а не зобов'язані співпадати і їх потрібно знаходити окремо на кожному кроці. Хорошого прогнозу слід чекати при стабільних значеннях а, тобто коли expost значення аутворюють невеликі коливання навколо деякого середнього значення.

Комбінована модель. Для даних знаходиться лінійне рівняння регресії. Потім моделюються залишки моделі лінійної регресії за допомогою моделі EWMA. Знаходиться оптимальне значення а. Потім об'єднуються ці дві моделі.

Значення комбінованої моделі . Прогнози будуються шляхом складання майбутніх значень тренда і прогнозів залишків, одержаних за допомогою моделі EWMA. Діаграма комбінованої моделі представлена на рис. 4.6.

Вона краща моделює початкові значення, ніж лінія тренда. Залишки комбінованої моделі для Y рівні відповідним залишкам моделі EWMA для е.

Рисунок 4.6 – Комбінована модель (лінійна регресія + модель EWMA)

Тому MSE (середньо квадратична похибка) моделі буде така ж, як у моделі EWMA для залишків е_i. При expost прогнозуванні комбінованої моделі слід враховувати, що, оскільки лінійне рівняння регресії змінюватиметься на кожному кроці, змінюватимуться і помилки моделі, а отже – і оптимальне значення а.

4.4 Визначення початкових значень моделі

Оскільки формула (4.7) є рекурсивною, тобто для обчислення значення моделі у момент t ми повинні знати її значення в попередній момент t - 1, то перед нами встає задача визначенняпочаткових значень моделі (в даному випадку у момент часу t= 1). Дійсно, формулу (4.7) можна застосувати тільки тоді, коли t > 1. Але якщо ми не знаємо ,ми не зможемо знайти і т.д. Задача визначення початкових значень часто зустрічається в прогнозуванні. У частині моделей згладжування вплив початкового значення моделі залежить від величини а і від довжини n ряду початкових даних. Чим ближче а до одиниці, тим більше помітною буде дія початкової умови як на значення моделі, так і на прогноз. В той же час зважаючи на здатність моделі «забувати» попередні дані вплив початкового значення моделі слабшає із збільшенням довжини ряду даних.

Найпростіший спосіб – узяти як початкове значення або .

У сучасному прогнозуванні досить поширений метод прогнозування назад (backcasting). Наприклад, можна розглянути модель, подібну моделі (4.7), з тією лише різницею, що рекурсивність здійснюється у зворотному напрямі:

(4.10)

Значення t беруться в зворотному порядку. Як початкове значення для моделі (4.10) береться саме останнє за часом значення Y_n. Після того як значення , моделі (4.10) визначено, ми знову повертаємося до початкової моделі (4.7). Значення моделі (4.10) полягає в тому, щоб як початкове значення узяти згладжене, визначуване загальним ходом процесу, число. Наприклад, якщо на початку процесу відмічалися значні коливання, то тепер для визначення остаточного прогнозу вони не виконуватимуть істотної ролі. Можна було б подумати, що в результаті ми повернемося до того ж значенню Y_n. Але це не так. Рівняння (4.10) можна записати в наступному вигляді:

(4.11)

Процес прогнозування здійснюється таким чином. Знаходиться значення згідно формули (4.10), рухаючись вгору, починаючи з останнього значення. Таким чином, знаходиться згладжене значення , відповідне 1-му кварталу. Потім переходимо до моделі (4.8) з набутим початковим значенням. Приклад прогнозування назад представлений на рис. 4.7.

Рисунок 4.7 – Модель прогнозування назад

Початкове значення моделі можна визначити за допомогою кривої підгонки. Оскільки е_i є залишками моделі лінійної регресії, то їх коефіцієнт b₂ буде рівний нулю і лінійне рівняння регресії зведеться до тотожності .

Коли є достатня кількість інформації, її можна розбити на дві групи. Потім значення прогнозу моделі для першої групи можна використовувати як початкове значення моделі для другої групи. Як початкове значення для першої групи можна узяти або . У обох групах беруться оптимальні значення а.

Початкове значення можна взяти відповідно до досвіду і розуміння прогнозистом процесу.

Найкращий спосіб визначення початкових значень, особливо для прогнозистів, що починають, полягає у виборі опції, «автоматично» присутньої у всіх статистичних пакетах.

4.5. Моделі згладжування з трендом: модель Холта, модель Брауна.

Модель Холта

В лінійній моделі різниця дорівнювала b₂, тобто служила характеристикою наявного тренда. Звичайно, було б невірним припускати, що в рівнянні (4.9) відповідна різниця буде константою. Проте вираз може розглядатися як величина тренда для нашого процесу в даний момент часу.

Застосуємо модель експоненціального згладжування до різниць , з константою згладжування, рівною 1 – β, де 0 ≤ β< 1. При цьому значення моделі позначимо як Т_tі назвемо їх значеннями тренда. Таким чином, одержуємоперше рівняння Холта:

(4.12)

Основна ідея Холта полягала в тому, щоб при визначенні формулі (4.9) додати до попереднього значення моделі відповідне значення тренда T_t-1. Отже, одержуємо друге рівняння Холта:

(4.13)

Побудова моделі зводиться до трьох основних етапів.

1. Ухвалюють рішення щодо величин параметрів моделі α і β. Якщо немає особливих переваг, то оптимальні значення α і βвизначають як завжди, виходячи з мінімізації MSE.

2. Визначають початкові значення і T_t. Що ж до T_t., то можна узяти

Т₁ = (Δ₂ + Δ₄ )/2.

3. Поперемінно знаходять і T_t. При цьому спочатку обчислюють і лише потім – T_t.

Для прогнозу на mкроків вперед, який позначимо Р_п+m, використовується третє рівняння Холта:

(4.14)

Іншими словами, передбачається, що останнє значення тренда залишається незмінним для всіх майбутніх прогнозів.

Діаграма моделі Холта представлена на рис. 4.8.

Рисунок 4.8 – Модель Холта, включаючи прогнози на три квартали вперед

Як ми бачимо, ця модель досить добре апроксимує початкові дані.

Модель подвійного експоненціального згладжування з трендом (модель Брауна – Brown'sdoubleexponentialsmoothingmodelwithtrend).

Модель Брауна користується популярністю у менеджерів, завдяки своїй простоті і непоганим короткостроковим прогнозам. Ідея полягає в наступному. При згладжуванні графік моделі знаходиться, як правило, нижче графіка даних при їх зростанні. При спаданні даних ми маємо зворотну картину. При повторному згладжуванні ця різниця стає ще відчутнішою.

Для отримання точнішої моделі для початкових даних Браун запропонував до значення моделі простого експоненціального згладжування додавати різницю в значеннях між простим і подвійним згладжуванням, помножену на коефіцієнт, обернено пропорційний а. Таким чином, модель Брауна визначається наступною формулою:

(4.15)

Прогноз на h кроків вперед визначається формулою:

(4.16)

При h = 1 ми одержуємо . Оскільки у формулі (4.15) значення визначаються на основі попередніх значень даних, то значення моделі також є ex post прогнозами.

Значення а можна визначити шляхом мінімізації MSE. Змодельовані значення моделі Брауна приведені на рис. 4.9.

Рисунок 4.9 – Модель Брауна, включаючи прогноз

Помітних поліпшень в порівнянні з моделлю Холта не спостерігається.

4.6 Сезонні моделі

Процес, що має кількісні характеристики, визначається наступними трьома основними чинниками: тренд (Т), сезонність (S) і випадкова помилка (е). Трендовий чинник іноді називають також трендоциклічним. Тоді як трендовий чинник відповідальний за загальну тенденцію процесу, сезонний чинник пов'язаний з впливом певних часових інтервалів на бізнес-процес. Тут важливо пам'ятати, що «сезон» в прогнозуванні є технічним терміном і не обов'язково означає квартал. Ось декілька найхарактерніших прикладів показників, відповідних різним сезонам:

1) об'єм продажів одягу по кварталах;

2) кількість заявок в туристичній фірмі по місяцях;

3) завантаженість наземного транспорту в місті по днях тижня;

4) кількість покупців в супермаркеті по годиннику.

Третій випадковий чинник, званий також помилкою, з'являється як результат непередбачених обставин. У нашому першому прикладі це могла бути надзвичайно холодна зима або зміна менеджменту компанії. Часто буває, що випадкові чинники проявляють себе в абсолютно несподіваній і непередбаченій манері. Наприклад, це може бути падіння або, навпаки, зліт цін на нафту на світових ринках. А на туристичний бізнес можуть робити вплив політичні події або стихійні лиха в іншій частині миру. Навіть подальший аналіз не завжди здатний виявити всі ті чинники, які могли вплинути на процес.

Величина:

(4.17)

називається десезоналізованим значенням. Тут S– сезонний чинник (його називають також сезонним коефіцієнтом), відповідний моменту часу t . Кажучи менш формальною мовою, десезоналізовані дані – це ті гіпотетичні значення, які могли б прийняти наші дані, якби не було сезонних впливів.

З формули (4.17) виходить:

(4.18)

Іншими словами, початкові дані є добутком своїх десезоналізованих значень і сезонних чинників. З формули (4.17) також слідує формула:

(4.19)

Задача полягає в тому, щоб знайти сезонні чинники S_і. Але для цього необхідно спочатку визначити d_t.

З формули (4.19) виходить очевидний, але важливий результат: всі коефіцієнти сезонності не можуть одночасно бути більше або, навпаки, менше одиниці. Інакше їх сума не буде рівна чотирьом.

Для знаходження десезоналізованих значень ми поступимо так само, як поступали при побудові моделі ковзного середнього. Щоб нейтралізувати сезонні впливи, порядок ковзного середнього k береться рівним 4. Щоб нейтралізувати вплив тренда, ми розміщатимемо кожне ковзне середнє у середині відповідної групи. Числа, що є десезоналізованими значеннями в першому наближенні, ми позначимо d'.

На даний момент ми ще не можемо скористатися формулою (4.10) для знаходження сезонних компонент, оскільки немає точної відповідності між початковими і десезоналізірованними даними. Ця проблема легко розв'язується шляхом утворення центрованих ковзних середніх другого порядку. Ці дані ми позначили d", які виходять шляхом додаткового згладжування десезоналізованих значень і, природно, так само будуть десезоналізованими значеннями для початкових даних. Тепер можемо застосувати формулу (4.19), щоб одержати коефіцієнти сезонності.

Для того, щоб набути однакові значення сезонних чинників за одні і ті ж квартали різних років, сезонні значення сортуються по кожному кварталу по роках, а потім знаходяться їх середні.

Числа і приймаються за остаточні значення для сезонних чинників. Тепер ми знайдемо остаточні десезоналізовані значення.

На рис. 4.10 можна побачити початкові значення до і після десезоналізації.

Рисунок 4.10 – Початкові значення до і після десезоналізації

Як бачите, піки і западини, викликані сезонними впливами, після десезоналізації зробилися менш помітними. Тепер підсумовуємо все вищесказане у вигляді алгоритму.

Алгоритм для знаходження сезонних чинників і десезоналізованих значень:

- знаходимо ковзні середні d'1-го порядку для початкового ряду Y_t;

- знаходимо (центровані) ковзні середні d" 2-го порядку для ряду d'_t;

- знаходимо неусереднені коефіцієнти сезонності ;

- усереднюємо значення S', щоб одержати коефіцієнти сезонності S₁, S₂,S₃ і S₄;

- знаходимо остаточні десезоналізовані значення d_t.

Тепер ми можемо побудувати сезонну модель S. Робиться це таким чином. Спочатку визначається яка-небудь модель для десезоналізованих значень. Наприклад, як таку модель ми можемо узяти одну з кривих підгонки. Потім значення моделі множаться на відповідні коефіцієнти сезонності. Набуті значення дадуть нам сезонну модель.

Тепер, щоб одержати сезонну модель S, ми помножимо значення моделі на відповідні коефіцієнти сезонності. На рис. 4.11 представлені початкові дані і змодельовані значення S_t.

Рисунок 4.11 – Графік сезонної моделі

Прогноз визначається: спочатку ми повинні визначити прогноз для відповідного значення тренда, який помножимо на коефіцієнт сезонності, відповідний певному кварталу.

Лекція 5 «Парна регресія в прогнозуванні соціально-економічних процесів»

Анотація

Лінійне рівняння регресії. Прогнозування в умовах невизначеності: тест рекурсивної оцінки коефіцієнтів регресії; тест рекурсивної оцінки значень Y; тест рекурсивної оцінки помилок регресії. Застосування матриць до моделі лінійної регресії.

5.1 Лінійне рівняння регресії

Припустимо, що члени ряду Y₁, Y₂, ..., Y_n є реалізацією взаємно незалежних ідентичних нормальних випадкових величин, і члени ряду представлені нормальними випадковими величинами. Найбільш проста модель при цьому вийде, якщо припустити, що члени ряду мають одне й те ж стандартне відхилення, рівне σ, але відрізняються значеннями своїх математичних сподівань E(Yi). Зазвичай припускається, що E(Y) залежить від деякої величини X. Якщо ця залежність лінійна, то модель називається моделлю [парної] лінійної регресії. Коефіцієнти лінійного рівняння регресії приймаються за наближені значення коефіцієнтів моделі. У такому випадку:

(5.1)

де і = 1, 2, ..., n;

β₁, β₂– не залежитьвід і, тобто являються константами моделі.

Ми отримаємо інше, більш поширене визначення моделі [парної] лінійної регресії, якщо зауважимо, що будь-яка випадкова величина Y з математичним очікуванням μ і стандартним відхиленням σ може бути представлена як Y = μ + ε, де випадкова величина ε має математичне сподівання, рівне нулю , і стандартне відхилення σ_ε = σ.

Отже, статистична модель

, (5.2)

де і = 1, 2,..., n;

Y_i – випадкова величина;

X_i - константа;

ε₁, ε₂, ..., ε_n – нормальнівипадкові величиниз одним і тим же математичним сподіванням, рівним 0, та стандартним відхиленням σ;

β₁, β₂ – константи моделі, що не залежатьвід і, називається моделлю [парної] лінійної регресії.

Параметри β₁, β₂ називаються коефіцієнтами регресії. Випадкові величини ε₁, ε₂, ..., ε_n називаються випадковими членами або помилками. Присутність випадкових членів в моделі означає, що залежність між Y і X не є строго лінійною. Ми також додатково припустимо, що ε₁, ε₂, ..., ε_n є взаємно незалежними випадковими величинами. Причому X називається регресором, а Y - залежною змінною. Коли ми говоримо, що X_i - константа, то мається на увазі, що вона є такою при фіксованому і, а при різних і X може приймати різні значення. Ми розглядаємо Y_i як випадкову величину для фіксованого i. Якщо i ≠ j, то Y_i і Y_jбудуть різними випадковими величинами з різними математичними очікуваннями, рівними β₁ + β₂Х_i і β₁ + β₂Х_j відповідно, хоча і з однаковими стандартними відхиленнями, рівними σ.

Важливо відзначити, що в моделі (5.2) коефіцієнт β₂ дорівнює середньому зміни в Y при збільшенні X на одиницю. Дійсно,

, де і = 1, 2, … , n.

2. Якщо X_i = і², то залежність Y від часу буде квадратичною:

, де і = 1, 2, … , n.

3. Якщо припустити, що Х_i = Ln (і), то виходить логарифмічна модель:

, де і = 1, 2, … , n.

4. Розглянемо наступну модель, яку називають моделлю постійної еластичності:

, де і = 1, 2, … , n.

Вона буде еквівалентна моделі:

, (5.3)

яку використовують при побудові 95%-них інтервалів прогнозу для значень Y. Він дає досить чітке уявлення про те, наскільки даний процес слідує моделі лінійної регресії. Тут, як і в попередньому тесті, ми задаємо число k в діапазоні 0 <k < n і потім за допомогою формули (5.3) визначаємо 95%-ний інтервал прогнозу Δ_{к +1} для Y_{k +1}, при заданих значеннях пар даних (X₁, Y₁), (X₂, Y₂),..., (X_k, Y_k). Нагадаємо, що серединою інтервалу Δ_{к +1} є expost прогноз. Випадкова величина Y_{k +1} з ймовірністю 95% повинна опинитися в інтервалі Δ_{к +1}. Потім ми додаємо пару даних (X_k+l, Y_k+l) і повторюємо всю процедуру для k + 1 пар даних (X₁, Y₁), (X₂, Y₂),..., (X_k+1, Y_k+1) і т.д. В результаті ми отримаємо рекурсивні інтервали Δ_k+1, Δ_k+2, ..., Δ_n. Серединою кожного такого інтервалу Δ_i буде значення expost прогнозу. Відповідні 95%-ні рекурсивні інтервали прогнозу для значень Y наведені на рис. 5.2.

Рисунок 5.2 - 95%-і рекурсивні інтервали прогнозу для значень Y

Примітка. Окреслена напівжирним лінія в середині смуги відповідає даним за останні 5 кварталів.

Пунктирна лінія на рис. 5.2 показує значення expost прогнозів. І хоча вихідні дані з ними не збігаються, вони потрапляють в смугу, задану відповідними 95%-ними рекурсивними інтервалами прогнозу. Цей тест підтверджує висновок, отриманий в результаті розглянутого раніше тесту рекурсивної оцінки коефіцієнтів регресії, про те, що дані, можливо, слідують моделі лінійної регресії.

Зазвичай замість тесту рекурсивної оцінки значень Y, який ми тільки що вивчили, розглядається еквівалентний йому тест рекурсивної оцінки помилок регресії. Якщо ми позначимо довжину 95%-ного рекурсивного інтервалу прогнозу Δ_k як 2L_k, то формула (5.3) може бути записана в наступному вигляді:

. (5.4)

Нерівність (5.4) еквівалентна твердженню, що помилкаехpost прогнозування зймовірністю 95% повинназнаходитись в інтервалі: .

Як іу вище описаних тестах, тут задають число k в діапазоні 0 < k < n, а потім послідовно знаходять 95%-ніінтервали прогнозу [-L_k+1; L_k+1], [–L_k+2; L_k+2], ..., [-L_n; L_n] для помилок е_k+1, e_k+2, ..., е_n. На рис. 5.3 представлені результати тесту рекурсивної оцінки помилок регресії.

Рисунок 5.3 – Помилки expost прогнозів і відповідні 95%-ні рекурсивні інтервали прогнозу для помилок е

На рис. 5.3 дві пунктирні лінії, розташовані симетрично відносно горизонтальної осі, представляють границі 95%-них рекурсивних інтервалів прогнозу для помилок е_і. Самі помилки представлені лінією між ними. Хоча значення помилок і не виходять за межі смуги, прогнозист може вирішити, що вони занадто великі.

У більшості випадків вони складають більше 10% від відповідних значень Y. Він може вирішити, що для отримання більш точного прогнозу потрібно врахувати вплив економічних та інших умов.

5.3 Застосування матриць до моделі лінійної регресії

Детермінований матричний предиктор має сенс будувати в тих ситуаціях, коли можливість застосування статистичних методів моделювання повністю виключена. Прикладом може служити ситуація, в якій дослідник володіє всього двома, трьома спостереженнями. Щоб перейти до формального опису моделі з таким предиктором, введемо позначення:

Х_ti – величина i-го показника у момент часу t;

X_t-1i– величина i-го показника у момент часу t-1;

Dх_ti – величина зміни (приросту) i-го показника.

Далі природно припустити, що будь-яка зміна довільного i-го показника залежить від величини решти показників. Це може бути функціональна або регресійна залежність. Розглянемо випадок, коли малий об'єм ретроспективних даних не дозволяє реалізувати відомі методи ідентифікації цієї залежності. Єдино доступною альтернативою ідентифікації в подібній ситуації є підхід, заснований на значному спрощенні цієї залежності. В якості такої спрощеної форми зручно використовувати лінійне представлення приростів. Відразу помітимо, що модель, побудована за двома спостереженнями, не може претендувати на застосування для розрахунків, поширюваних за рамки, обкреслені короткостроковими прогнозами. Тому при розгляді короткострокових періодів таке спрощення не приводить до значного зростання помилки прогнозування навіть у тому випадку, коли істинна залежність явно нелінійна.

Модель цієї простої (лінійної) залежності будується в припущенні, що приріст будь-якого з показників формується під впливом всіх остаточних, будучи як би сумарною величиною, причому кожен показник окремо робить незначний вплив, і серед них немає домінуючих. Для реалізації цього припущення вводиться в розгляд характеристика, що встановлює ступінь впливу j-гo показника на зміни, що відбуваються в і-му. В якості такої характеристики зручно використовувати непрямий темп приросту

Якщо умовитися, що на формування приросту всі показники надають рівномірну дію, то, розділивши n_ij на (n–1), одержимо ту частку в прирості i-го показника, яка сформована під впливом j-го. Використання введеної міри ступеня впливу j-го показника на i-й дозволяє виразити приріст Dх_t через суму добутків

Враховуючи, що Dх_ti = x_ti – x_t–1 можна величину будь-якого і-го показника представити у вигляді суми попереднього значення x_ti і приросту Dх_ti:

.

Для одержаної системи рівнянь (5.3), ввівши позначення

.

можна використовувати компактний матричний запис

.

Вважаючи, що невідомим вектором в цій системі є х_t, запишемо його таким чином:

, (5.5)

де через I позначена одинична матриця.

Зворотну матрицю (I–V)^-1 називатимемо матричним предиктором. Він визначає перехід із стану, описуваного вектором значень попереднього моменту часу, в стан, представлений вектором значень теперішнього моменту часу. Позадіагональні елементи зворотної матриці інтерпретуються як непрямі темпи зростання рівномірно розподілених частин прогнозованих показників, а діагональні – як прямі темпи зростання частини, що залишилася.

У припущенні, що матричний предиктор перспективного періоду майже не відрізняється від матричного мультиплікатора поточного періоду, вираз (5.5) дозволяє розраховувати прогнозні оцінки. Основна перевага даного підходу полягає у тому, що з його допомогою можна проводити розрахунки для багатовимірних рядів динаміки навіть у тому випадку, коли дослідник має в своєму розпорядженні спостереження лише за два періоди. Правда, статистична надійність таких прогнозних розрахунків не перевіряється і спирається, в основному, на ту обставину, що навіть при зміні характеру динаміки прогнозованих процесів структура самого предиктора, як правило, змінюється трохи. Як показує практика прогнозних розрахунків, застосування цієї моделі переважно звичних розрахунків з використанням темпів зростання, в яких зовсім не враховується взаємодія між модельованими показниками.

Лекція 6 «Множинна регресія в прогнозуванні соціально-економічних процесів»

Анотація

Основні властивості множинної регресії. Відбір регресорів. Бета-уявлення. Мультиколінеарність

6.1 Основні властивості множинної регресії

Статистична модель

де i = 1, 2,..., n;

к ≥ 2;

Y_i — випадкова величина;

Х_i^(m), при 2 ≤ m ≤ k, — константа;

ε₁, ε₂, …, ε_n — незалежні нормальні випадкові величини з одним і тим же середнім, рівним 0, і стандартним відхиленням σ;

β₁, β₂, …, β_k — не залежать від і константи моделі, називається моделлю лінійної регресії з k – 1регресорами.

Якщо к > 2, то модель (6.1) називається моделлю множинної регресії. Хочаі = 1, 2, ..., n являються просто індексами нумерації, в прогнозуванні вони зазвичай відповідають моментам часу, взятихз однаковим кроком, при цьому допускається, щоб деякі значення і були опущені.

Регресор вважається константою при фіксованому і. Це зауваження справедливе не тільки для випадку з одним регресором, а й при множинній регресії. Таким чином, при різних і значення кожного з регресорів можуть відрізнятися. Якщо і ≠ j, тоді Y_i і Y_j будуть різними випадковими величинами, які мають математичні очікування, рівні β₁ + β₂X_i⁽²⁾ +…+ β_kX_i^(k)іβ₁ + β₂X_j⁽²⁾ +…+ β_kX_j^(k) відповідно, і однакові стандартні відхилення, рівні σ.

Звертає на себе увагу той факт, що у формулі (6.1) відсутня X⁽¹⁾. Справа в тому, що при вивченні різних властивостей моделі (6.1) зручно вважати, що X⁽¹⁾ тотожно дорівнює одиниці (Х⁽¹⁾ ≡ 1). Тому модель (6.1) часто записується у вигляді:

де і = 1, 2, ..., n;

к ≥ 2.

При цьому, як уже сказано, Х_i⁽¹⁾ ≡ 1 для всіх і. Добавимо ще одну умову, яка формулюється наступним чином:

Ні одна із змінних Х⁽¹⁾, Х⁽²⁾,..., Х^(k) не являється лінійною комбінацією інших.

З (6.1) випливає, що E(Y_t) = β₁ + β₂X_i⁽²⁾ +…+ β_kX_i^(k). Таким чином, так же, які увипадкуз одним регресором, модель лінійної регресії з довільним числом регресорів ми могли б визначити як лінійну залежність E(Y) від змінних Х⁽¹⁾, Х⁽²⁾,..., Х^(k) з параметрами β₁, β₂, …, β_k, що не залежать від і.

Запишемо формулу (6.1) у вигляді системи рівнянь:

Система рівнянь (6.3) може бути записана в матричній формі наступним чином:

(6.4)

де , — n-вимірні вектори;

— k-вимірний вектор;

— n×kматриця:

(6.5)

Змінні Х⁽²⁾,..., Х^(k) називаються пояснюючими, тому що при будь-якому i значення Y_i однозначно ними визначено з точністю до випадкового члена ε_i. У число пояснюючих можуть входити і змінні, які не є заданими функціями часу f(і). У цьому випадку модель називається каузальною.

Визначення оптимальної кількості пояснюючих змінних, що адекватно описують зміни залежної змінної Y, - одне з найбільш важливих завдань, що стоять перед прогнозистом. Завдання це, як ми побачимо надалі, зовсім не просте є скоріше процесом, ніж одноразовим рішенням. Крім чіткого розуміння виробничої діяльності свого підприємства і знання макроекономічних показників прогнозист повинен також добре розбиратися в статистичних властивостях моделі множинної регресії.

2. Відбір регресорів.

При підготовці даних прогнозист повинен першза все знайти набір регресорів, здатних вплинути на процес, що генерує величини Y₁, Y₂, ..., Y_n. На наступному етапі він повинен вирішити, які з цих регресорів слід залишити в моделі, тобто визначити регресори, необхідні для прогнозування майбутніх значень Y. Важливим показником оцінки моделі лінійної регресії (6.1) є коефіцієнт детермінації:

Буде вірною також наступна формула:

.

Як і у випадку з одним регресором, , оскільки між коефіцієнтами детермінації та кореляції існує наступний зв’язок: , звідки випливає, що .

При додаванні нових регресорів коефіцієнт детермінації R²_k практично завжди зростає. Те, що коефіцієнт детермінації R²_k не може зменшитися, випливає з того факту, що при скороченні числа регресорів отримана модель є окремим випадком первісної, коли коефіцієнти при відсутніх регресорах дорівнюють нулю. Тому величина R²_k не може бути критерієм при вирішенні питання, чи потрібно вводити додаткові регресори в модель.

При визначенні числа регресорів в першу чергу намагаються позбавитися від регресорів, у яких 95%-і довірчі інтервали для відповідних коефіцієнтів можуть містити нулі.

95%-ний довірчий інтервал для коефіцієнта регресії β_j буде наступним:

де z_jj — j-й діагональний елемент матриці (М'М)^-1.

Так як b_j являється лінійною комбінацією нормальних випадкових величин Y₁, Y₂, ..., Y_k, тоді b_j також буде нормальною випадковою величиною. Величина називається стандартною помилкою b_j, з тим же застереженням, що і для одного регресора.

Зазвичай замість 95%-ного довірчогоінтервалу для β_j застосовують інший спосіб, який заснований на розгляді випадкової величини:

Припустимо, що β_j = 0. В такому ипадку величина слідує t(n-k)-розподілу. Вона називається t-статистикою для коефіцієнта β_j.

Для вихідних даних визначають Р-значення t-статистики для коефіцієнта β_j. Воно дорівнює ймовірності того, що випадкова величина, яка слідує t(n-k)-розподілу, прийме значення, що по модулю перевищує абсолютне значення t-статистики. Тобто знаходять:

.

Якщо Р-значення менше 5%, тобто , то можна бути по крайній мірі на 95% впевненим, що β_j ≠ 0. Якщо ж , то коефіцієнт b_j не являється статистично значимим і регресор X^(j) виключають з рівняння лінійної регресії.

Як визначити, чи збільшився коефіцієнт детермінації на стільки, щоб можна було залишити нові регресори в моделі? Для цього замість r² розглядають скоригований коефіцієнт детермінації:

Скоригований коефіцієнт детермінації часто використовується, коли потрібно вирішити, чи слід додавати додаткові регресори в модель. Нові регресори додають за умови, що скоригований коефіцієнт детермінації збільшився. При практичному прогнозуваннізазвичай роблять навпаки. Спочатку вводять повний набір регресорів в комп'ютер і, після того як програма залишила тільки ті регресори, довірчі інтервали яких не містятьнулі, починають по черзі виключати регресори, у яких t-статистика не більше одиниці.

При порівнянні моделей з різним числом регресорівв прогнозуванні використовуються також два інших коефіцієнта – критерій Шварца:

та інформаційний критерій Акайка:

Як і скоригований коефіцієнт детермінації, обидва цих коефіцієнта призначені для того, щоб «карати»за включення в модель регресорів, що не призводять до значного підвищення здатності моделі описувати процес. Але на відміну від, рішення про те, щоб залишити нові регресори в рівнянні, приймають тільки при зменшенні SC або АIС.

6.3 Бета-уявлення

При вивченні рівняння регресії може виникнути також проблема, пов'язана з системами одиниць, в яких виражений той чи інший регресор. Наприклад, якщо ми представимо значення Y, Х⁽²⁾, Х⁽³⁾ в доларах, то рівняння регресії буде виглядати наступним чином:

де і = 1, 2, ..., 17.

Якщо порівняти отримане рівняння з рівнянням , то помітимо, що коефіцієнти b₂ і b₃ не змінились, а коефіцієнти b₁ та b₄ збільшились, кожний в 1000 разів. Для того щоб коефіцієнти регресії не залежали від масштабу, розглянемо рівняння регресії: