Типы теорем
Логические операции над высказываниями
Основные понятия математической логики
Метод математической индукции
Треугольник Паскаля
Формула бинома Ньютона
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ
по теме «Бином Ньютона. Метод математической индукции.
Элементы математической логики и теории множеств. Грани числовых множеств»
где – биномиальные коэффициенты
Свойства формулы бинома Ньютона:
1) в разложении двучлена по формуле Ньютона содержится член;
2) в разложении показатель степени убывает от до , а показатель степени возрастает от до ;
3) сумма показателей степеней и в каждом члене равна ;
4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой.
Числа в строке с определенным номером , , являются последовательными коэффициентами в формуле для данного .
Показатель степени
Доказательство истинности утверждения при всех значениях натуральной переменной методом математической индукции:
1) непосредственной проверкой убедиться в истинности ;
2) допустить, что истинно для любого ;
3) доказать, что истинно для всех , .
| Понятие | Определение |
| Высказывание | повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что его содержание истинно (1) или ложно (0) в данных условиях места и времени |
| Элементарное высказывание | высказывание, представляющее собой одно утверждение, нерасчленимое на более простые высказывания без потери его смысловой нагрузки |
| Составное высказывание | высказывание, которое можно расчленить на элементарные высказывания |
| Предикат | неопределенное высказывание, т.е. предложение , которое при каждом конкретном превращается в некоторое высказывание |
| Тавтология | составное высказывание, истинное при любых предположениях о входящих в него элементарных высказываниях |
| Название | Определение | Обозначение | Чтение |
| Отрицание | логическая операция, которая утверждает, что высказывание не выполняется | не | |
| Двойное отрицание | утверждение о том, что высказывание не выполняется | не | |
| Импликация | высказывание, которое считается ложным, если истинно, а – ложно, и истинным во всех остальных случаях | из следует | |
| Эквиваленция | высказывание « тогда и только тогда, когда » | равносильно | |
| Конъюнкция(логическое и, логическое умножение) | одновременное выполнение двух свойств и | или & | и |
| Дизъюнкция (логическое или, логическое сложение) | высказывание, когда либо имеет место (но не ), либо имеет место (но не ), либо имеют место и одновременно | или |
Таблица истинности алгебраических операций над высказываниями
| Название | Определение | Пример |
| Прямая теорема (достаточное условие, или признак высказывания ) | «Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов катетов равна сумме квадрата гипотенузы» | |
| Обратная теорема (необходимое условие) | «Если в треугольнике квадрат какой-либо стороны равен сумме квадратов остальных сторон, то этот треугольник прямоугольный» | |
| Критерий (необходимое и достаточное условия для ) | «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна сумме квадрата гипотенузы» | |
| Теорема, противоположная к прямой теореме | «Если треугольник не является прямоугольным, то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон» | |
| Теорема, противоположная к обратной теореме | «Если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то треугольник не может быть прямоугольным» |