Загальна методика

Розв’язок систем диференційних рівнянь у MathCAD мож- ливий за допомогою таких вбудованих функцій: rkfixed, Bulstoer, Rkadapt, rkadapt. Головна ідея методики розв’язку систем диференційних рівнянь полягає в тому, що систему рівнянь n-го порядку шля-хом заміни подають у вигляді системи диференційних рівнянь

першого порядку.

4.2 Функція rkfixed

Функція rkfixed має вигляд: rkfixed(y, x1, x2,n,F)

Синтаксис цієї функції був розглянутий вище.

Ця функцій базується на матриці розв’язку системи диференційних рівнянь методом Рунне-Кути зі сталим шагом. Технологія розв’язку системи диференційних рівнянь за

допомогою цієї функції така:

1. Присвоєння чисельних значень всім символьним змінним, якщо такі є.

2. Введення вектора початкових умов з присвоєнням йому імені.

3. Введення вектора правих частин системи диференційних рівнянь першого порядку.

4. Введення функції rkfixed(y, x1, x2,n,F) з присвоєнням їй імені з чисельним значенням змінних x1, x2,n .

5. Одержання розв’язку шляхом натиснення на клавішу Enter.

Розв’язок знайдений та знаходиться в пам’яті комп’ютера.

Тепер його можна вивести на екран у вигляді графіка або таблиці. Для цього необхідно виконати такі дії:

1. Присвоїти змінній n значення, що відповідають числу точок розв’язку диференційного рівняння в інтервалі від x1 до x2 .

2. Ввести ім’я, що було присвоєно функції rkfixed(y, x1, x2,n,F) .

3. Натиснути клавішу дорівнює для одержання відповіді у вигляді таблиці.

Наведемо приклад використання даної функції.

Приклад 13.14. Розв’язати систему диференційних рівнянь:

з початковими умовами x(0)=1та y(0)=0

Розв’язок рівняння в системі MathCAD проілюстрований на рис. 13.14

Рисунок 13.14 – Розв’язок системи диференційних рівнянь

1-го порядку для прикладу 13.14

Приклад 13.15 Розв’язати систему диференційних рівнянь:

з початковими умовами x(0)=1та y(0)=0

Розв’язок рівняння в системі MathCAD проілюстрований на рис. 13.15

Рисунок 13.15 – Розв’язок системи диференційних рівнянь 1-го порядку для прикладу 13.15

Розглянемо приклади розв’язку систем рівнянь більш ви- сокого порядку.

Розглянемо на прикладі системи двох рівнянь другого порядку.

Приклад 13.16. Розв’язати систему рівнянь другого порядку:

Необхідно нашу систему двох диференційних рівнянь 2-го порядку звести до системи чотирьох диференційних рівнянь 1- го порядку. Та розв’язати її, вище зазначеним методом.

Розв’язок рівняння в системі MathCAD проілюстрований на рис. 13.16.

Рисунок 13.16 – Розв’язок системи диференційних рівнянь 2-го порядку

4.3 Функція Bulstore

Функція Bulstoreмає вигляд: Bulstoer(y,x1,x2,n,D)

Аргументи функції мають те саме значення, що і для фун- кції rkfixed. Систему диференційних рівнянь вона розв’язує чисельним методом Булірша-Штера. Її рекомендують застосовувати у випадку, якщо розв’язок диференційних рівнянь мають ви- гляд гладких функцій.

Приклад 13.17 Розв’язати систему диференційних рівнянь першого порядку з прикладу 13.14, використовуючи функцію Bulstore.

Розв’язок рівняння в системі MathCAD проілюстрований на рис. 13.17.

Під час порівнянь результатів, одержаних у прикладах 13.15. та 13.16. видно, що результати однакові.

4.4 Функція Rkadapt

Функція Rkadaptмає вигляд: Rkadapt(y,x1,x2,n,D)

Змінні функції мають той самий зміст, що і в функції rkfixed. Відмінність полягає в тому, що її розв’язком є матриця розв’язку системи диференційних рівнянь методом Рунне-Кути зі змінним кроком. Технологія розв’язку диференційних рівнянь залишається незмінною.

4.5 Функція rkadapt

Функція rkadaptмає вигляд: rkadapt(y,x1,x2, ,n,D,k,s)

де y – вектор початкових умов, x1, x2 – інтервал значень аргумента шуканої величини; – похибка розв’язку задачі; n ––число кроків в інтервалі від x1 до x2 ; D – вектор правих частин диференційних рівнянь першого порядку; k – максимальна кількість проміжних точок розв’язку, s – мінімально дозволений інтервал між точками розв’язку. Функція видає розв’язок системи диференційних рівнянь зі змінним кроком. З опису її аргументів видно, що функція дозволяє користувачу задати точність обчислень, також потребує завдання параметрів проміжних обчислень. При цьому технологія розв’язку не відрізняється від попередніх. Система MathCAD дозволяє розв’язувати спеціальні види диференційних рівнянь, так як жорсткі системи, системи Пуассона та Лапласа та деякі інші. З ними можна ознайомитися самостійно за літературними джерелами.