Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

 

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

 

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

у

 

 

0 х0 х1 х2 х3 х4 х

 

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого: . Отсюда уравнение (2) примет вид: . Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

По формуле Симпсона получим:

m
x -2 -1
f(x) 2.828 3.873 4.123 4.899 6.557 8.944 11.874 15.232 18.947 22.978

 

Точное значение этого интеграла – 91.173.

 

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

 

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

 

 

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

 

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

 

 

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции cosx имеет вид:

 

 

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

 

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

 

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

 

 

Теперь представим наш интеграл в виде:

 

 

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

 

Итак:

 

Итого, получаем:

 

 

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

 

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…