Лекція №3

Тема: Основні властивості z-перетворення, передаточна функція

розімкнутої та замкнутої імпульсної системи

Розглянемо основні властивості z-перетворення стосовно незміщених решітчастих функцій. Ці ж властивості є справедливими також для зміщених функцій .

1. Властивість лінійності. Зображення лінійної комбінації решітчастих функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації їх зображень. Якщо решітчаста функція має вигляд

то її зображення

2. Запізнювання і випередження (зсув за часом на ціле число періодів). Для решітчастої функції, зсунутої праворуч (запізнюючої) на періодів,

де – зображення функції

Для решітчастої функції, зсунутої ліворуч (випереджуючої) на періодів,

(11)

Якщопри , то

3. Множення оригіналу на експоненту . Зображення незміщеної решітчастої функції

де , а зміщеної

4. Зображення різниць (аналог зображення похідної). Для різниці к-го порядку маємо

звідки для першої різниці

для другої

Якщо початкові умови нульові, тобто при функція та її різниці до (к-1) включно дорівнюють нулю, то

5. Зображення суми (аналог зображення інтеграла). Зображення суми

6. Початкове значення решітчастої функції. При

7. Кінцеве значення решітчастої функції. При значення решітчастої функції обчислюється за формулою

8. Згортка решітчастих функцій. Якщо

то

9. Зображення функції

10. Розв'язування різницевих рівнянь. Послідовність розв'язування різницевих рівнянь методом z-перетворення аналогічна послідовності розв'язування диференціальних рівнянь при використанні перетворення Лапласа безперервних функцій. Спочатку треба перейти від різницевих рівнянь відносно оригіналів до алгебричних рівнянь відносно їх z-зображень, потім визначити z-зображення шуканої функції, розв'язавши знайдене алгебричне рівняння, і нарешті перейти від z-зображення до оригіналу – шуканої решітчастої функції.

Нехай, наприклад, різницеве рівняння має вигляд (6)

Розв'яжемо це рівняння за початкових умов

За функцією-оригіналом визначимо Позначимопотім, з урахуванням виразу (11), визначимо z-перетворення лівої частини рівняння (6) і подамо його у вигляді

(12)

де – характеристичний поліном;– поліном, коефіцієнти якого залежать від початкових умов. Для нульових початкових умов,

З виразу (12) знаходимо зображення шуканої функції

і переходимо до оригіналу

Для переходу до оригіналу зображення доцільно подати у вигляді суми простих дробів, для яких оригінали можна знайти в таблицях z-перетворень функцій часу, і записати оригінал як суму оригіналів, що відповідають простим дробам.

Значення функції в дискретних точках можна обчислити без знаходження аналітичного виразу для неї, якщо розкласти зображення Y(z) в ряд Лорана:

(13)

З формули (10) дістаємо

(14)

З порівняння рядів (13) і (14) випливає, що і т. д.

Найзручнішим способом розкладання в ряд Лорана дрібнораціональних функцій є ділення чисельника на знаменник.

Приклад. За відомим z-перетворенням

визначити оригінал .

Розв'язання. Розкладемо на суму простих дробів. Для цього визначимо корені рівняння Маємо тоді

3 таблиці z-перетворень знаходимо, що доданку відповідає оригінал , де тобто оригінал має вигляд . Аналогічно доданку відповідає оригінал . Отже, шукана решітчаста функція має вигляд

Звідси знайдемо дискретні значення функції і т. д.

Визначимо тепер дискретні значення функції , розклавши зображення в ряд Лорана діленням чисельника на знаменник:

Отримаємо,

Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи

Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилом перенесення суматорів у безперервних системах, реальний імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з'єднання ідеального імпульсного елемента і формувача (див. п.10.3). Отже, структурна схема зводиться до вигляду, (рис. а)

де – передаточні функції формувача і безперервної частини системи.

Формувач об'єднується з безперервною частиною системи в одну приведену безперервну частину з передаточною функцією

Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи має вигляд, (рис. б).

Зірочка в індексі означає, що сигнал дискретний, тобто становить послідовність миттєвих імпульсів.

Щоб визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої системи, що складається з послідовно з'єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, треба знайти передаточну функцію приведеної безперервної частини, а потім її z-зображення:

(15)

При нульових початкових умовах передаточні функції і формально збігаються і , тому надалі при виконанні z-перетворень використовується співвідношення і

Передаточна функція залежить від форми імпульсів на виході імпульсного елемента через те, що , а визначається формою імпульсів. Найчастіше використовуються імпульсні елементи, що генерують короткі прямокутні імпульси, висота яких дорівнює значенню , а тривалість становить , де

Під час визначення дискретної передаточної функції розімкнутої системи слід враховувати відмінність у визначенні дискретних і безперервних передаточних функцій послідовно з'єднаних ланок. Для безперервних систем передаточна функція послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок. Для імпульсних систем з одним імпульсним елементом на вході це правило не є справедливим, тобто

Для визначення дискретної передаточної функції необхідно спочатку знайти

а потім здійснити z-перетворення

Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з'єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, загальну передаточну функцію можна знайти як добуток дискретних передаточних функцій, визначених для кожної ланки з власним імпульсним елементом, тобто

де – передаточна функція дискретного фільтра, тобто добуток передаточних функцій ланки і формувача імпульсного елемента цієї ланки.

При паралельному з'єднанні ланок дискретну передаточну функцію можна визначити як суму дискретних передаточних функцій, що знайдені для кожної ланки окремо:

Приклад. Визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої імпульсної системи, якщо передаточна функція безперервної частини

а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси з періодом повторення . При розрахунку прийняти:

Розв'язання.

Передаточну функцію подамо у вигляді суми простих дробів. Рівняння має один нульовий корінь і два дійсні: ; тому

де

Отже,

За даними табл. 10.1 із урахуванням властивості лінійності дістаємо

де

Після виконання необхідних перетворень остаточно маємо

Передаточна функція замкнутої імпульсної системи

Розглянемо імпульсну систему, структурна схема якої:

Вважатимемо, що передаточну функцію розімкнутої системи визначено і в загальному випадку вона становить . Тоді z-зображення вихідної величини

(16)

Зображення похибки прийнято у вигляді , тому що імпульсний елемент реагує на похибку тільки в дискретні моменти часу , тобто при

Зображення похибки можна подати як різницю зображень задавальної дії і вихідної величини :

Через те, що , маємо

(17)

Підставивши (17) у (16), дістанемо

звідки знайдемо передаточну функцію замкнутої системи

(18)

Для незміщених дискретних функцій

Передаточна функція замкнутої системи за похибкою записується так:

(19)

Передаточні функції , , можуть використовуватися для оцінки стійкості та якості імпульсних систем.

Формулами (18)-(19) можна користуватися лише у разі, коли вагова функція дорівнює нулю в момент t = 0. Для цього в системах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді -функцій потрібно, щоб степінь полінома чисельника передаточної функції безперервної частини був меншим степеня полінома знаменника принаймні на два. Якщо степінь полінома знаменника дорівнює степеню полінома чисельника або більший від нього лише на одиницю, то передаточна функція має розрив при тобто . В таких випадках у дискретних передаточних функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію або функцію , що їй дорівнює.