Лекція №2

Тема: Математичний апарат для дослідження імпульсних САК

Решітчасті функції. Вихідний сигнал імпульсного елемента визначається величиною вхідного сигналу тільки в дискретні моменти часу на початку кожного періоду повторення імпульсів і надалі не залежить від змінювання вхідного сигналу до початку наступного періоду повторення. Тому достатньо знати значення вхідного сигналу лише в дискретні моменти часу, тобто в моменти , де – ціле число. На підставі цього безперервну функцію на вході імпульсного елемента можна замінити так званою решітчастою функцією. Решітчастою називається функція дискретного аргументу, значення якої визначені в дискретні моменти часу. Між цими моментами функція дорівнює нулю.

Решітчасту функцію звичайно позначають або, якщо перейти до відносного часу,. Заміна безперервної функції решітчастою або

Використовується також поняття зміщеної решітчастої функції. Аргумент цієї функції тобто дискретні значення функції вибираються для моментів часу, зміщених на відносно . Зміщення може бути додатним або від'ємним за умови, що . Зміщена решітчаста функція позначається або, при використанні відносного часу, – – відносне зміщення. Надалі вважатимемо, що у решітчастої функції аргумент і параметр Якщо необхідно розглянути функцію з від'ємним параметром то дискретний час можна подати у вигляді Тоді решітчасту функцію можна записати у вигляді

Різниці решітчастих функцій та різницеві рівняння.

Різниці решітчастих функцій є аналогами похідних безперервних функцій.

Різниця першого порядку (перша різниця) решітчастої функції

(1)

Аналогія між першою різницею і першою похідною пояснюється тим, що перша різниця, як і перша похідна, по суті дорівнює відно­шенню приросту функції до приросту аргументу але через те, що перша різниця дорівнює

Різниця другого порядку (друга різниця) обчислюється за форму­лою:

(2)

або, якщо розкрити перші різниці за формулою (1),

(3)

Різниця k-го порядку має вигляд

(4)

де– коефіцієнти бінома Ньютона.

Різниці, що визначаються виразами (1) – (4), називаються прямими. Є також зворотні різниці:

перша

друга

k-го порядку

Аналогами інтеграла безперервної функції в межах від 0 до для решітчастої функції є неповна сума

і повна

У повній сумі, на відміну від неповної, значення в момент часу також бере участь у формуванні результату.

Аналогами диференціальних рівнянь є різницеві рівняння (рівняння у кінцевих різницях). Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієн­тами при використанні прямих різниць мають вигляд

(5)

де– відповідно задана і шукана решітчасті функції.

Якщо (тотожно(тождественно)) то рівняння (5) називається однорідним.

Враховуючи вираз (4), рівняння (5) можна записати у вигляді рекурентного* рівняння через повні значення решітчастих функцій:

(6)

де

Для розв'язування різницевих рівнянь мають задаватися почат­кові умови у вигляді значень шуканої функції та її різниць від першої до різниці -го порядку, якщо рівняння подано у вигляді (5), або у вигляді значень цієї функції в точках для рівняння типу (6).

Різницеві рівняння вигляду (5) можна розглядати як реку­рентні співвідношення, які дають змогу обчислювати значення при = 1, 2, 3,... для заданих початкових умов, а рівняння вигляду (6) — значення при = 0, 1, 2,...

Наприклад. Якщо задано різницеве рівняння третього порядку

і відомі функції та початкові умови , то дискретні значення функції обчислюються так:

при

і

при

і

і т. д.

Різницеві рівняння можна розв'язувати також класичним і операторним методами, аналогічними методам розв'язування диференціальних рівнянь. З операторних методів найпоширенішим є метод, що ґрунтується на використанні z-перетворення.

*Рекурентним співвідношенням називається формула виду a_n+1=F(a_n,a_n-1,...,a_n-k+1), де F деяка функція від k аргументів, яка дозволяє обчислювати наступні члени послідовності через значення попередніх членів. Якщо вказати перших k членів послідовності, то рекурентне співвідношення однозначно визначає послідовність a_n.

Наприклад:Рекурентне співвідношення арифметичної прогресії: a_n+1=a_n+d.

Основи z-перетворення.

Перетворення Лапласа являється основою аналіза та проектування неперервних САК. Відповідно z-перетворення являється основним методом анализа імпульсних та цифрових систем. Ідея z-перетворення, була вперше запропонована Гурвіцем, згодом розроблена Баркером (Англія), Заде и Рагиццини (США). В теперішній час методи z-перетворення найбільш широко використовуються для анализа імпульсних і цифрових САК.

Дискретну функціюякщо вважати, що при , можна аналітично записати так:

(7)

де – породжуюча безперервна функція; – зміщена на час дельта-функція.

Перетворення Лапласа від функції (7) має вигляд

Це перетворення називається дискретним перетворенням Лапласа (D-перетворення). У символічній формі воно записується так:

Якщо аргументом безперервної функції є відносний час то формула дискретного перетворення

(8)

де – комплексне число, що називається параметром дис­кретного перетворення Лапласа.

Дискретне перетворення для зміщених решітчастих функцій

(9)

Зображення є трансцендентними* функціями від s і q, що робить неможливим застосування звичайних методів аналізу в площині s або q для дослідження імпульсних систем. Прийнятнішим є так зване z-перетворенпя. Формули z-перетворення випливають з формул (8) і (9), якщо виконати підстановку

(10)

Формули z-перетворення можна записати також для безперерв­ної породжуючої функції у вигляді

де - 0, 1, 2,...

Приклад. Визначити z-перетворення одиничної решітчастої функції

Розв'язання. За формулою (10)

Сума цієї геометричної прогресії

Як правило, на практиці не визначають z-перетворення, а користуються таблицями в які зведені більшість розповсюджених функцій. Розглянемо деякі з них.

*Трансценде́нтна фу́нкція — аналітична функція, що не є алгебраїчною. Простими прикладами трансцендентних функцій є показникова функція, тригонометричні функції, логарифмічна функція.