Первые приборы

Счеты

Счет костьми

Английский абак.

В XV столетии в Англии появилась новая его форма, называемая «линейчатой доской» (line-board) или «счет на линиях». Линейчатая доска представляет собой горизонтально разлинованную таблицу, на которой выкладываются специальные жетоны. Горизонтальные линии таблицы соответствуют единицам, десяткам, сотням и т.д. На каждую линию кладут до четырех жетонов. Жетон, помещенный между двумя линиями, означает пять единиц ближайшего разряда, соответствующего нижней линии. В вертикальном направлении таблица расчерчивается на несколько столбцов для отдельных слагаемых или сомножителей.Счет на линиях и счетные таблицы особое распространение получили в XV–XVI столетиях. В Нюрнберге, например, изготовлением счетных жетонов занималась целая отрасль промышленности, поставлявшая всей Европе жетоны различной формы, чеканкии стоимости. Большим разнообразием отличались и счетные таблицы. В английском государственном казначействе в качестве счетной таблицы использовалась разделенная на клетки (chequer) скатерть, покрывавшая стол, на котором производился счет. Поэтому казначейство (exchequer) называлось Палатой шахматной доски. Счетные таблицы два с лишним столетия были необходимой принадлежностью купца и чиновника, ученого и школяра.

Счет на линиях был известен и в России. Он был описан в рукописной книге XV в. «Счетная мудрость» под названием «счет костьми» (вишневыми или сливовыми косточками). Этим и объясня ется замена европейского термина «счет на линиях» русским «счетом костьми».

Но если в Европе счет на линиях постепенно был вытеснен письменными вычислениями на бумаге, то в России «счет костьми» не выдержал конкуренции в борьбе с уникальным и замечательным средством вычислений – русскими счетами.

На рубеже XVI–XVII вв. появляется русский абак – счеты. Долгое время считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суаньпаня. Лишь в начале 60-х гг. XX столетия ленинградский ученый И. Г. Спасский убедительно доказал русское происхождение этого счетного прибора. Доказательством служат следующие аргументы:

1) у него горизонтальное расположение спиц с косточками;

2) для представления чисел использована десятичная (а не пятеричная) система счисления. Десятичный строй счетов – довольно веское основание для того, чтобы признать временем возникновения этого прибора XVI в., когда десятичный принцип счисления был впервые применен в денежном деле России. В XVI в. термина «счеты» еще не существовало –прибор

именовался «дощаным счетом». Один из ранних образцов такого «счета» представлял собой два соединенных ящика, одинаково разделенных по высоте перегородками. В каждом ящике два счетных поля с натянутыми веревками или проволочками. На верхних 10 веревках – по 9 косточек (четок), на 11-й – их четыре, на остальных веревках – по одной. Существовали и другие варианты «дощаного счета».

В Эрмитаже есть счеты, устроенные в грубом ящичке из еловых дощечек, сколоченных гвоздями. Конечно, такой «дощаный счет» был доступен многим.Название прибора изменилось в XVII столетии. В 1658 г. впервые упомянуты «счоты». По свидетельству историков, в XVII столетии они уже изготавливались на продажу. В начале XVIII в. счеты уже приняли вид, существующий и поныне. В них осталось лишь одно счетное поле, на спицах

которого размещалось либо 10, либо 4 косточки (спица с четырьмя четками –дань «полушке», денежной единице в 1/4 копейки).Русские счеты широко использовалисьпри начальном обучении арифметике в качестве учебного пособия. Благодаря известному французскому математику и механику Ж. Понселе, который познакомился со счетами в Саратове, будучи военнопленным офицером наполеоновской армии, аналогичный прибор появился во французских школах, а затем и в некоторых других странах Европы.

Счетные палочки (костяшки) Непера После изобретения абака многие изобретатели и естествоиспытатели пытались придумать приспособления, способные облегчить процесс вычислений. Абак удобно использовать для выполнения операций сложения и вычитания. Умножение и деление выполнять с помощью абака гораздо сложнее. Революцию в области механизации умножения и деления совершил шотландский математик лорд Джон Непер (John Naiper, 1550–1617). Джон Непер известен двумя изобретениями.

1. Первое изобретение – в 1617 г.

Джон Непер предложил инструмент, получивший название «счетные палочки Непера». Они выполнялись в виде прямоугольных брусков, разделенных на десять квадратов. Каждый квадрат, в свою очередь, кроме самого верхнего, делился по диагонали на две части, в каждой из которых в определенном порядке записывались числа. Самый верхний квадрат содержал всего одну цифру. Помимо этого в набор входил еще один брусок, поделенный также на десять частей. Верхний квадрат такого бруска оставался пустым, а в нижние записывались по порядку числа от единицы до девяти. Для выполнения операции умножения двух чисел брался основной брусок и брусок, у которого в верхнем квадрате был записан один из множителей. Далее эти бруски располагались рядом так, чтобы их края совпадали. После этого в том квадрате, который располагался на одной линии со вторым множителем, из основного бруска складывались два находившихся там числа, при этом число, располагавшееся левее, обозначало десятки, а число правее – единицы. Таким образом, операция умножения сводилась к сложению. На этом инструменте можно было извлекать квадратные и кубические корни, умножать и делить большие числа.Кроме того, Непер предложил счетную доску для операций умножения, деления, возведения в квадрат и звлечения корня в двоичной системе счисления. Каждую степень числа 2 Непер обозначил отдельной буквой. Из этих букв и цифр формируется любое двоичное число. Для перевода из двоичной системы в десятичную и обратно были разработаны специальные алгоритмы.

2. Второе изобретение – изобретение Непером логарифмов, о чем сообщалось в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов», опубликованной в 1614 г. Логарифм – то показатель степени, в которую нужно возвести число (основание логарифма), чтобы получить другое задан-

ное число. Непер понял, что таким способом можно выразить любое число. Например, 100 –это 10², а 23 – это 10^1,36173.Более того, он обнаружил, что сумма логарифмов чисел а и b равна логарифму произведения этих чисел:

ln a + ln b = ln (ab). Благодаря этому свойству сложное действие умножения

сводилось к простой операции сложения. Чтобы перемножить два больших числа, нужно лишь посмотреть их логарифмы в таблице, сложить найденные значения и отыскать число, соответствующее этой сумме, в обратной таблице, называемой таблицей антилогарифмов. Основанием таблицы логарифмов Непера является иррациональное число, к которому неограниченно приближаются числа вида (1 + 1/n)n при безграничном возрастании п. Это число называют неперовым числом и со времен Л. Эйлера обозначают буквой е: Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются ln (образовано от первых букв слов «логарифм натуральный»). Вскоре появляются и другие логарифмические таблицы. Они упростили вычисления, но все же эта операция оставалась достаточно трудоемкой и утомительной для тех, кому приходилось ею заниматься ежедневно. Поэтому вслед за изобретением логарифмов делаются попытки механизировать логарифмические вычисления.