Функція Гріна для областей на площині
Функція Гріна для областей у двовимірному випадку в принципі можна будувати в той же спосіб, що і в тривимірному випадку. При цьому треба враховувати вигляд фундаментального розв’язку для , що приводить до наступного вигляду функції Гріна
(4.14)
Фізичний зміст фундаментального розв’язку в двовимірному випадку представляє собою потенціал електростатичного поля в точці рівномірно зарядженої одиничним додатнім зарядом нескінченої нитки, яка проходить ортогонально до площини через деяку точку . Точки належать площині.
Аналогічно кулі , можна отримати функцію Гріна задачі Дірихле для кола, яка має вигляд:
(4.15)
Або через комплексні змінні ,
(4.15’)
Таким чином розв’язок задачі Дірихле для кола може бути записана у вигляді :
(4.16)
Або через точки комплексної площини, ,
Тоді, формула (4.16) має вигляд
(4.15’)
Нехай необхідно побудувати функцію Гріна першої граничної задачі
(4.17)
для довільної однозв’язної області з жордановою границею . Якщо відома функція , яка здійснює конформне відображення області на одиничний круг , тоді функція Гріна першої граничної задачі для області буде мати вигляд :
(4.18)
А розв’язок задачі Дірихле (4.17) можна записати у вигляді:
(4.19)