ЛЕКЦІЯ 3

Різновиди методів окиснення і відновлення.

В редоксиметрії частіше за відновники у якості робочих розчинів застосовують розчини окисників (тому часто методи окиснення-відновлення ще називають оксидиметрією). Приготування і особливо зберігання розчинів відновників звичайно викликають утруднення внаслідок окислення їх киснем повітря. Застосування ж окисників у якості робочих розчинів є звичайно зручнішим. Для цієї мети запропоновано багато речовин: KMnO₄ (перманганатометрія), K₂Cr₂O₇ (дихроматометрія), KBrO₃ (броматометрія), йод (йодометрія), NH₄VO₃ (ванадометрія) та інші. Деякі з них ми детально розглянемо в наступних лекціях.

Однак, застосування робочих розчинів окисників також вимагає певних умов. Першою з них є необхідність того, щоб речовина, яка визначається, була у відновленій формі. Це по ходу складних аналізів не завжди вдається зробити. Скоріше навпаки, при переході металів, мінералів тощо у розчин часто діють окисниками. Тому часто застосовують методи попереднього відновлення, для чого використовують леткі відновники (SO₂), розчини (що буде продемонстровано у наступному прикладі), рідкі амальгами металів, тверді метали (редуктори).

Так, для визначення ванадію (V) застосовують такий прийом, спочатку його відновлюють:

VO₃^- + Fe²⁺ = VO₃^2- + Fe³⁺

Потім надлишок заліза (II) окиснюють персульфатом калію, який у цих умовах не діє на ванадій (IV) :

2 Fe²⁺ +S₂O₈^2- = 2 Fe³⁺ + 2SO₄^2-

Нарешті ванадій титрують перманганатом калію:

5VO₃^2- + MnO₄^- + 8e = 5VO₃ + Mn²⁺ + 4H₂O.

Прикладом застосування відновників у якості робочих розчинів є тіосульфат натрію у йодометрії, про що йтиметься у подальшому.

Тема: Числові вирази, їх значення. Числові вирази, що не мають змісту, вирази зі змінною. Область визначення виразу. Рівності і нерівності. Тотожні перетворення виразу. Рівняння з однією змінною. Нерівності з однією змінною.

фізико-математичних дисциплін

_____________ Н.В.Назаренко

м. Берислав,

2009 р.

Тема лекції: Числові вирази, їх значення. Числові вирази, що не мають змісту, вирази зі змінною. Область визначення виразу. Рівності і нерівності. Тотожні перетворення виразу. Рівняння з однією змінною. нерівності з однією змінною.

Знати:

- поняття про числові вирази та вирази із змінною (змінними);

- означення області визначення виразу;

- поняття тотожності;

- визначення рівняння та теореми про рівносильність рівнянь.

Вміти:

- виконувати тотожні перетворення виразів;

- знаходити область визначення виразу;

- розпізнавати по записах вирази (числові та із змінною), числові рівності нерівності;

- застосовувати теореми про рівносильність рівнянь при їх розв’язанні .

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: елементарний вираз, вираз зі змінною, область визначення виразу, тотожність, числова рівність, числова нерівність, рівняння.

План

1. Числові вирази, їх значення.

2. Вирази зі змінною. Область визначення виразу.

3. Тотожні перетворення виразу. Поняття тотожності.

4. Числові рівності і нерівності, їх властивості.

5. Рівняння з однією змінною.

6. Теореми про рівносильність рівнянь.

7. Нерівності з однією змінно.

8. Теореми про рівносильність нерівностей.

Основна література

1. Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник для педучилищ. – К.: Вища школа, 1987. – 319 c.

2. Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся педучилищ. – М.: Просвещение, 1988. – 320 c.

Структура лекції

1. Вступна частина:

Оголошення теми, мети і завдань лекції.

Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.

2. Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції).

І. Числові вирази, їх значення.

Елементарний вираз – це будь-яке дійсне число.

Означення. Числовий вираз – це запис, що складається з чисел, з’єднаних знаками арифметичних дій. Н.: 3 + 7, 24 : 8, (25 + 3) · 2 – 17.

Означення. Число, отримане в результаті послідовного виконання дій, називається значенням числового виразу. Н.: 30 : 2 + 75 = 90(90 є числовим значенням виразу).

Про вирази, які не мають числового значення, говорять, що вони не мають змісту. Н.: 8 : (4 – 4), .

ІІ. Вирази зі змінною. Область визначення виразу.

Означення.Вираз зі змінною – це вираз, що містить у собі змінну, позначену латинською літерою. Н.: 2а + 3, 3х – 5.

Означення. Числа, які можна підставляти замість змінної частини у вираз, називають значеннями змінної.

Означення. Область визначення виразу – це множина дійсних значень змінної, при якій вираз має зміст, тобто можна виконати усі арифметичні дії.

Н.: 3 – 4у – область визначення R.

; х – 3 ≠0, х ≠ 3, D.

У математиці розглядають вирази, які містять одну зміну, дві. три і т. д.

Вираз 3х + 4у містить дві змінні, 5х – (2у – 7z) – вираз із трьома змінними.

ІІІ. Тотожні перетворення виразу. Поняття тотожності.

Означення. Два вирази А (х), В (х) з не порожніми областями визначення називаються тотожно рівними, якщо їхні області визначення збігаються із значенням виразів, рівні між собою при будь-якому значенню змінної із цієї області визначення.

Н.:і - тотожно рівні вирази.

Означення. Тотожність – це рівність, що містить у собі невідоме, позначене буквою і справедливе при будь-якому значенні цієї букви.

Н.: a + b = b + a – тотожність.

Тотожні перетворення виразів – це заміна виразу тотожно рівним йому виразом.

ІV. Числові рівності і нерівності, їх властивості.

Означення. Числова рівність – це два числові вирази між якими стоїть знак дорівнює.

a = b – загальний вигляд числової рівності.

5 + 1 = 8 – 2 – істинна числова рівність.

Означення. Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять у лівій і правій частинах рівності, співпадають.

Властивості істинних числових рівностей:

1. Якщо до обох частин істинної числової рівності а = в додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову рівність а + с = b + с

а = b => а + с = b + с

1. Якщо обидві частини істинної числової рівності а = в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істину числову рівність ас = bс.

а = b => ас = bс.

Нехай а і b – два числові вирази. З'єднаємо їх знаком > або <. Отримаємо речення а > b (а < b), яке називають числовою нерівністю.

Н.: 6 + 2 > 13 – 7 – істинна числова нерівність.

Властивості істинних числових нерівностей:

1. Якщо до обох частин істинної числової нерівності а > b додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність а + с > в + с
2. Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває додатне значення, то отримаємо істинну числову нерівність ас > bс.
3. Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > b помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває від'ємне значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності поміняти на протилежний ас < bс.

V. Рівняння з однією змінною.

Означення. Рівняння – це рівність, що містить у собі невідоме, позначене буквою х і справедлива при певних значеннях цієї змінної.

3х + 5 = 26 – рівняння з однією змінною, лінійне рівняння, тому що змінна х у першому степені. Корінь рівняння в даному випадку 7 – це числове значення змінної, при якому рівняння перетворюється в істинну числову рівність.

Розв’язати рівняння – це значить знайти його розв’язок (корінь рівняння), або множину розв’язків.

Н.: 1) 4х = 5х + 2

4х – 5х = 2

-х = 2

х = -2

Відповідь: х = -2.

2) (х – 1) · (х + 2) = 0

х – 1 і х + 2

х = 1 х = -2

Відповідь: 1, -2.

3) (3х + 1) · 2 = 6х + 1

6х + 2 = 6х + 1

0 = -1

Відповідь: хØ.

VІ. Теореми про рівносильність рівнянь.

Означення. Два рівняння називаються рівносильними, якщо їх множини розв'язків рівні.

Наприклад: (х + 1) · 2 = 9 і (х - 2) · (х + 4) = 0 – рівносильні рівняння на множині R.

Теорема 1. Нехай рівняння f(x) = g(x) задане на множині X і h(x) - вираз, визначений на цій самій множині. Тоді рівняння f(x) = g(x)і f(x) + h(x) = g(x) + h(x)рівносильні на множині Х.

Наслідки:

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне і те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо будь-який доданок (числовий вираз або вираз зі зміною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 2. Нехай рівняння f(x) = g(x) задане на множині Х і h(x) - вираз, визначений на цій самій множині і не обертається в нуль ні при яких значеннях х з множини Х. Тоді рівняння f(x) = g(x) і f(x) · h(x) = g(x) · h(x) рівносильні на множині Х.

Наслідок:

Якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне і те саме число, відмінне від нуля, то отримаємо рівняння рівносильне даному.

VІІ. Нерівності з однією змінно.

Вирази виду 2х + 7 > 10 – х, х+ 7х < 2 називають нерівностями з однією змінною.

Означення. Нехай f(x) і g(x) – два вирази зі змінною х і областю визначення Х. Тоді нерівності виду f(x) > g(x) або f(x) < g(x) називаються нерівністю з однією змінною.

Значення змінної х з множини Х, при якому нерівність обертається в істинну числову нерівність, називається його розв’язком. Знайти множину розв’язків даної нерівності – значить розв’язати цю нерівність.

VІІІ.Теореми про рівносильність нерівностей.

Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.

Теорема 3. Нехай нерівність f(x) > g(x) задана на множині X і h(x) - вираз, заданий на цій же множині. Тоді нерівності f(x) > g(x) і f(x) + h(x) > g(x) + h(x) рівносильні на множині X.

Наслідки:

1. Якщо до обох частин нерівності f(x) > g(x) додати одне і те ж саме дійсне число d, то отримаємо нерівність f(x) + d > g(x) + d, рівносильну даній.
2. Якщо будь-який доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, помінявши знак доданку на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 4.Нехай нерівність f(x) > g(x) задана на множині X і h(x) - вираз, заданий на цій же множині, і для всіх х з множини X, h(x) >0. Тоді нерівності f(x) > g(x) і f(x) · h(x) > g(x) · h(x) рівносильні на множині X.

Наслідок:

Якщо обидві частини нерівності f(x) > g(x) помножити на одне і те саме додатнє дійсне число d, то отримаємо нерівність f(x) · d > g(x) · d, рівносильну даній.

Теорема 5. Нехай нерівність f(x) > g(x) задана на множині X і h(x) - вираз, визначений на цій же множині, і для всіх х з множини X, h(x) < 0. Тоді нерівності f(x) > g(x) і f(x) · h(x) < g(x) · h(x) рівносильні на множині X.

Наслідок:

Якщо обидві частини нерівності f(x) > g(x) помножити на одне і те саме від'ємне дійсне число d, і знак нерівності змінити на протилежний, то отримаємо нерівність f(x) · d < g(x) · d, рівносильну даній.

3. Заключна частина:

Загальний висновок.

Відповіді на запитання студентів.

Д/з: Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики, Р. 4, § 14, п. 92 – 95, § 15, п. 96 – 98, впр. 3, 4 (С. 246), впр. 3 (С. 248), впр. 5 (С. 251), впр. 5, 6 (С.258).