Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З ×103 + 7 ×102 + 4×10 + 5.
Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0, где коэффициенты an, a n-1, …. , а1, а0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап ± 0.
Сумму an ·10n + an-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0 в краткой форме принято записывать так:
апаn-1 ...а1а0.
Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.
Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:
х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0, где коэффициенты an, a n-1, …. , а1, а0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ап ± 0, и такая запись единственна.
Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 102, 103,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10 n < х < 10 n +1, что всегда можно сделать.
Разделим (с остатком) число х на 10 n . Если частное этих чисел обозначить через an , а остаток через хп, то х = an ·10n + хп , где ап < 10 и хп < 10 n. Далее, разделив хп на 10n-1 , получим: хп = an-1 ·10n-1 + хn-1 откуда х= an ·10n + an-1 ·10n-1 + хn-1
где an-1 < 10 и хn-1 < 10n-1. Продолжая деление, дойдем до равенства х2 = а1·10 + х1. Положив х1 = а0, будем иметь х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0, т.е. число х будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятичной системе счисления.
Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определяется условием 10 n < х < 10 n +1. После того как п определено, коэффициент ап находят из условия: an ·10n < х < (ап + 1) ·10n. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a n-1, …. , а1, а0.
Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.
Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:
х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0,
у = bn ·10n + b n-1 ·10n-1 + ... +b1·10 + b0,
Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:
а) п < т;
б)п = т,но ап < bп
в)п = т, ап = b п... ,ак = b к, но а к-1., < b к-1/
Доказательство не приводится.
Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.
Если натуральное число х представлено в виде х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 + ... +а1·10 + а0, то числа 1, 10, 102, ..., 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.
Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.
Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.
Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.
В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это постигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде
1∙10 + а0 образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д.
Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.
Слово «двадцать» обозначает два десятка.
Числа третьего десятка (это числа вида 2∙10 + а0 ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.
Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.
Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион.Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард,или биллион.В вычислениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард - 109. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 1012, квадриллион- 1015 и т.д.
Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.
Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.