Построение алгебры многочленов.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение.Многочленом с коэффициентами в поле Р будем называть бесконечную строчку (a0,a1,a2,a3,…), где все компоненты a0,a1,a2,a3,…Î P и почти все a i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P[x].

I. Определим на множестве P[x] операции:

пусть для f = (a0,a1,a2,…), g = (b0, b1, b2,…)Î P[x], lÎ P по определению l×f = (la0, la1, la2,…),

f + g = (a0 +b0, a1 +b1, a2 +b2,…), f×g =(g0, g1, g2,…), где

g0 =a0b0 , g1 = a0b1+a1b0 , g2 =a0b2+a1b1 +a2b0 , и " k ³ 0 gk =a0bk+a1bk-1+a2bk-2 + …+akb0 = =. Очевидно, у строчек l×f, f + g , f×g также почти все компоненты равны нулю, то есть l×f, f + g , f×g содержатся в P[x].

II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11):

  1. (f + g) + h = f + (g + h) " f, g, h Î P[x],
  2. $ элемент 0Р[x]Î P[x], 0Р[x] = (0,0,0,…) такой, что 0Р[x]+ f = f + 0Р[x] = f " fÎ P[x],
  3. " fÎ P[x] $ элемент - P[x] такой, что (- f)+f = 0Р[x],
  4. f + g = g + f " f, g Î P[x],
  5. (fg)h = f(gh) " f, g, h Î P[x],
  6. $ элемент 1Р[x]Î P[x], 1Р[x] = (1,0,0,…) такой, что

1Р[x]×f = f×1Р[x] = f " fÎ P[x],

8. fg = g f " f, g Î P[x],

9. (f + g)h = fh +gh " f, g, h Î P[x],

а также выполнены свойства линейного пространства:

v. l(f+g) = lf+lg " f, gÎ P[x], "lÎ P,

vi. (l+m)f = l f+m f " fÎ P[x], "l, mÎ P,

vii. (lm)f = l(m f) " fÎ P[x], "l, mÎ P,

viii. 1×f = f " fÎ P[x],

и свойство l(fg) = (lf)g = f(lg) " f, gÎ P[x], "lÎ P.

Проверим, например, свойство 5. Пусть f = (a0,a1,a2,…), g = (b0, b1, b2,…), h = (g0, g 1, g2,…), fg =(d0, d1, d 2,…). Тогда dк =, и s-я компонента строчки (fg)h равна

=, то есть совпадает с s-й компонентой строчки f(gh) " s. Отсюда (fg)h = f(gh).

Упражнение. Доказать остальные свойства.

Таким образом, мы получаем, что P[x] является АКУ-кольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р

(см. Лекцию 18, п.9.1).

Определение.Пусть f = (a0,a1,a2,…), и ak ¹ 0, а при m > k все am = 0. Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f равна k и писать ст.f = k или deg.f = k. Будем считать по определению, что ст.0Р[x] = - ¥ .

Обозначим многочлен (0,1,0,0,0,…) через х. Тогда легко проверить, что х2=(0,0,1,0,0,…), х3= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = (a0,a1,a2,…)= (a0,0,0,0,…)+(0,a1,0,0,…)+(0,0,a2,0,…)+…=

= a0(1,0,0,0,…) + a1(0,1,0,0,…) + a2(0,0,1 ,0,…) + …= a01Р[x]+ +a1х +a2х2+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1Р[x], то f = a0 + a1х + a2х2+ …+akхk, где k = ст.f.

Теорема.ст.(fg) = ст.f + ст.g.

Доказательство.Если f = 0Р[x] или g = 0Р[x] , то левая и правая части равенства равны , и утверждение теоремы верно. Если же ст.f ³ 0, f=akхk + ak-1хk-1+…+ a1х + a0, ak¹ 0, ст.g ³ 0, g= bmхm + bm-1хm-1+…+ b1х + b0 , bm¹ 0, то

fg = akbmхk+m+…, и akbm ¹ 0 Þ ст.(fg) = k + m = ст.f + ст.g.

ÿ

Следствие. В кольце Р[x] нет делителей нуля.

При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУ-кольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А[x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z[x] с целыми коэффициентами. Если А = Р[x1], то кольцо А[x2] = Р[x1][x2] = =Р[x1,x2] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.